Tỉ lệ mắc bệnh Z trong cộng đồng là \(10\% .\) Một xét nghiệm nhanh TZ cho kết quả dương tính với \(90\% \) các ca mắc bệnh Z. Một khảo sát cho thấy có

Đáp số: 0,99.

Gọi A là biến cố người làm xét nghiệm thực sự mắc bệnh Z và H là biến cố kết quả xét nghiệm là dương tính.

Ta có: \({\rm{P}}({\rm{A}}) = 0,1;{\rm{P}}({\rm{H}}\mid {\rm{A}}) = 0,9;{\rm{P}}({\rm{A}}\mid {\rm{H}}) = 0,6.\)

Ta có: \({\rm{P}}({\rm{AH}}) = {\rm{P}}({\rm{H}}\mid {\rm{A}}){\rm{P}}({\rm{A}}) = 0,09\); và \({\rm{P}}({\rm{H}}) = \frac{{{\rm{P}}({\rm{AH}})}}{{{\rm{P}}({\rm{A}}\mid {\rm{H}})}} = \frac{3}{{20}}.\)

Hơn nữa \({\rm{P}}(\overline {\rm{A}} \cap \overline {\rm{H}} ) = {\rm{P}}(\overline {{\rm{A}} \cup {\rm{H}}} ) = 1 - {\rm{P}}({\rm{A}} \cup {\rm{H}}) = 1 - ({\rm{P}}({\rm{A}}) + {\rm{P}}({\rm{H}}) - {\rm{P}}({\rm{AH}})) = \frac{{21}}{{25}}.\)

Do đó xác suất người đó thực sự không mắc bệnh Z biết rằng người đó có kết quả xét nghiệm âm tính là

\({\rm{P}}(\overline {\rm{A}} \mid \overline {\rm{H}} ) = \frac{{{\rm{P}}(\overline {\rm{A}} \cap \overline {\rm{H}} )}}{{{\rm{P}}(\overline {\rm{H}} )}} = \frac{{21}}{{25}}:\frac{{17}}{{20}} = \frac{{84}}{{85}} \approx 0,99.\)