Thiết diện của hình trụ (T) cắt bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trục một đoạn bằng 2 cm là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Biết diện tích xung quanh của hình trụ (

Đáp án

Bán kính đáy của hình trụ (T) là \(2\sqrt 3 \) cm.

Thể tích của khối trụ (T) là \(48\pi \sqrt 2 \) cm3.

Giải thích

Giả sử ta có hình trụ như hình vẽ với \(I\) là trung điểm của AB.

Khi đó, \(OI = 2;OA = R \Rightarrow AB = 2AI = 2\sqrt {{R^2} - 4} \).

Vì thiết diện là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng nên \(h = AD = 2AB = 4\sqrt {{R^2} - 4} \).

Vì diện tích xung quanh của hình trụ ( \(T)\) là \(32\pi \sqrt 6 \;{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}\) nên \({S_{xq}} = 2\pi Rh = 32\pi \sqrt 6 \).

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2\pi R.4\sqrt {{R^2} - 4}  = 32\pi \sqrt 6 \\ \Leftrightarrow R\sqrt {{R^2} - 4}  = 4\sqrt 6 \end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {R^2}\left( {{R^2} - 4} \right) = 96\\ \Leftrightarrow R = 2\sqrt 3 \end{array}\)

Khi đó, thể tích của khối trụ \((T)\) là \(V = \pi {R^2}h = \pi {\left( {2\sqrt 3 } \right)^2}.2\sqrt {{{\left( {2\sqrt 3 } \right)}^2} - 4}  = 48\pi \sqrt 2 \,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\).