Thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (alpha) có diện tích bằng a căn bậc hai của 5 . Tìm a.

Dựng thiết diện \(MNPQ\) như hình, trong đó: \(MN//SB,MQ//AB,PQ//SA\).

Dễ thấy \(M,N,P,Q\) lần lượt là trung điểm của \(BC,SC,SD,AD\).

Suy ra \(MQ//PN\) (cùng song song \(CD\)). Suy ra \(MNPQ\) là hình thang.

Ta có:\(MN = PQ = \frac{{SA}}{2} = \frac{{SB}}{2}\).

Ta có \(MQ = AB = 8;PN = \frac{{AB}}{2} = 4,MN = PQ = \frac{{SA}}{2} = 3\).

Xét hình thang \(MNPQ\). Hạ \(NH \bot MQ,PK \bot MQ\).

Dễ chứng minh được \(\Delta MNH = \Delta QPK\) (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra \(MH = KQ = 2\).

Xét tam giác vuông \(MNH\), có \(NH = \sqrt {M{N^2} - M{H^2}}  = \sqrt {{3^2} - {2^2}}  = \sqrt 5 \).

Khi đó \({S_{MNPQ}} = \frac{{\left( {NP + MQ} \right) \cdot NH}}{2} = \frac{{\left( {4 + 8} \right) \cdot \sqrt 5 }}{2} = 6\sqrt 5 \). Suy ra \(a = 6\).

Trả lời: 6.