Thể tích phần chứa nước của hồ lô đó là bao nhiêu lít (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Lời giải

Điểm \(M\) thỏa \(MA \le \sqrt 3 \,\,{\rm{dm}}\) và \(MB \le \sqrt 5 \,\,{\rm{dm}}\), trong đó \(A\) và \(B\) là hai điểm cố định, \(AB = 3\,\,{\rm{dm}}\) được biểu diễn trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) là hai hình tròn tròn \(\left( {{C_1}} \right)\) tâm \(A\left( {1;0} \right)\) bán kính \({R_1} = \sqrt 3 \) và hình tròn \(\left( {{C_2}} \right)\) tâm \(B\left( { - 2;0} \right)\) bán kính \({R_2} = \sqrt 5 \).

Khi đó vật thể \(\left( V \right)\) được tạo thành do hình phẳng \(\left( H \right)\) giới hạn bởi hai nửa đường tròn \(y = \sqrt {3 - {{\left( {x - 1} \right)}^2}} \), \(y = \sqrt {5 - {{\left( {x + 2} \right)}^2}} \) và trục hoành quay quanh trục \(Ox\).

Xét phương trình hoành độ giao điểm của hai nửa đường tròn: \(\sqrt {5 - {{\left( {x + 2} \right)}^2}}  = \sqrt {3 - {{\left( {x - 1} \right)}^2}}  \Leftrightarrow x = \frac{{ - 1}}{6}\).

Suy ra thể tích phần chứa nước của hồ lô là

\(V = \pi \int\limits_{ - 2 - \sqrt 5 }^{\frac{{ - 1}}{6}} {\left[ {5 - {{\left( {x + 2} \right)}^2}} \right]{\rm{d}}x}  + \pi \int\limits_{\frac{{ - 1}}{6}}^{1 + \sqrt 3 } {\left[ {3 - {{\left( {x - 1} \right)}^2}} \right]{\rm{d}}x}  \approx 66\) (dm3) = 66 lít.

Đáp án: 66.