Thể tích nước của một bể bơi sau t phút bơm tính theo công thức V(t) = 1/100 (30t^3 − t^4/4) (lít) với (0 ≤ t ≤ 90). Tốc độ bơm nước tại thời điểm t được tính bởi công thức f(t) = V'(t).

13/22

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Thể tích nước của một bể bơi sau $t$ phút bơm tính theo công thức \[V\left( t \right) = \frac{1}{{100}}\left( {30{t^3} - \frac{{{t^4}}}{4}} \right)\] (lít) với \[\left( {0 \le t \le 90} \right)\]. Tốc độ bơm nước tại thời điểm $t$ được tính bởi công thức $f\left( t \right) = V'\left( t \right)$

Tốc độ bơm nước tại phút thứ $30$ là $540$ lít/phút

ĐúngSai

Tốc độ bơm nước luôn tăng dần trong suốt quá trình bơm từ phút thứ 0 đến phút thứ 90

ĐúngSai

Trong toàn bộ quá trình bơm, có đúng một thời điểm duy nhất tốc độ bơm đạt $800$ lít/phút.

ĐúngSai

Tại thời điểm lượng nước trong bể đạt $6075$ lít thì tốc độ tăng của tốc độ bơm đạt giá trị lớn nhất.

ĐúngSai

Giải thích

Cho hàm thể tích: \[V\left( t \right) = \frac{1}{{100}}\left( {30{t^3} - \frac{{{t^4}}}{4}} \right)\]
Tốc độ bơm nước: $f\left( t \right) = V'\left( t \right) = \frac{1}{{100}}\left( {90{t^2} - {t^3}} \right)$
Tốc độ tăng của tốc độ bơm nước: $f'\left( t \right) = \frac{1}{{100}}\left( {180t - 3{t^2}} \right)$
Xét mệnh đề a)
Thay $t = 30$vào hàm tốc độ bơm nước, ta được $f\left( {30} \right) = \frac{1}{{100}}\left( {90 \cdot {{30}^2} - {{30}^3}} \right) = 540$(lít/phút) nên mệnh đề a) đúng
Xét mệnh đề b)
Cho $f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{{100}}\left( {180t - 3{t^2}} \right) = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{x = 60}\end{array}} \right.$
Bảng biến thiên như sau:
$Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng $\left( { - 1;\,1} \right)$ và $\left( {1;\,3} \right)$. (ảnh 1)$
Từ bảng biến thiên, ta thấy tốc độ bơm giảm sau phút thứ$60$nên mệnh đề b) sai
Xét mệnh đề c)
Giai đoạn 1 (từ 0 đến 60 phút): Tốc độ tăng liên tục từ $0$ lên $1080$lít/phút
Vì $0 < 800 < 1080$ nên theo tính chất của hàm số liên tục tồn tại duy nhất 1 thời điểm ${t_1} \in \left( {0;60} \right)$ sao cho \[f\left( {{t_1}} \right) = 800\]
Giai đoạn 2 (từ 60 đến 90 phút): Tốc độ giảm liên tục từ $1080$xuống $0$lít/phút.
Vì $0 < 800 < 1080$, theo tính chất của hàm số liên tục nên tồn tại thêm một nghiệp duy nhất 1 thời điểm ${t_2} \in \left( {60;90} \right)$ sao cho \[f\left( {{t_2}} \right) = 800\]
Vậy trong toàn bộ quá trình bơm từ $t = 0$ đến$t = 90$, có $2$ thời điểm mà tốc độ bơm đạt đúng 800 lít/phút nên mệnh đề c) sai
Xét mệnh đề d)
Xét hàm $f'\left( t \right) = \frac{1}{{100}}\left( {180t - 3{t^2}} \right)$. Đây là một parabol có bề lõm hướng xuống
Giá trị lớn nhất của $f'\left( t \right)$đạt được tại đỉnh:$t = - \frac{b}{{2a}} = \frac{{ - 60}}{{2 \cdot \left( { - 1} \right)}} = 30$
Lượng nước tại $t = 30$là: \[V\left( {30} \right) = \frac{1}{{100}}\left( {30 \cdot {{30}^3} - \frac{{{{30}^4}}}{4}} \right) = 6075\](lít) nên mệnh đề d) đúng