Thể tích khối tứ diện NSDC là:

Từ \[AB = 2a,\,\,SA = a,\,\,SB = a\sqrt 3 \Rightarrow \Delta SAB\] vuông tại S.

Kẻ \(SH \bot AB\) tại H, do \(\left( {{\rm{SAB}}} \right) \bot \left( {{\rm{ABCD}}} \right)\) nên \({\rm{SH}} \bot \left( {{\rm{ABCD}}} \right)\).

 

Ta có \(SH = \frac{{SA \cdot SB}}{{AB}} = \frac{{a \cdot a\sqrt 3 }}{{2a}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Mặt khác \({S_{CDN}} = \frac{1}{2} \cdot CD \cdot CN \cdot \sin \widehat {DCN} = \frac{1}{2} \cdot 2a \cdot a \cdot {\rm{sin}}60^\circ = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\).

Do vậy \({V_{{\rm{NSDC\;}}}} = {V_{S.CDN}} = \frac{1}{3} \cdot {S_{CDN}} \cdot SH = \frac{1}{3} \cdot \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2} \cdot \frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{{a^3}}}{4}\). Chọn C.