Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường $x + y - 2 = 0$

20/22

Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường $x + y - 2 = 0$; $y = 2\sqrt x - 1$; $y = 0$ quay quanh trục $Ox$ bằng $\frac{{a\pi }}{b}(a,\,b \in \mathbb{N}$, $\frac{a}{b}$ tối giản). Tính $a + b$ bằng bao nhiêu?

Giải thích

Hình phẳng đã cho được chia làm $2$ phần sau:

$Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường $x + y - 2 = 0$ (ảnh 1)$

Xét phương trình hoành độ giao điểm chung:

$2\sqrt x - 1 = 2 - x \Leftrightarrow x = 1$.

$2\sqrt x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{4}$

Phần $1$: Hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = 2\sqrt x - 1$; $y = 0$; $x = \frac{1}{4}$; $x = 1$.

Khi quay trục $Ox$ phần $1$ ta được khối tròn xoay có thể tích ${V_1} = \pi \int\limits_{1/4}^1 {{{\left( {2\sqrt x - 1} \right)}^2}\,{\rm{d}}x} = \pi .\left( {4x - 4\sqrt x + 1} \right)\left| {_{\scriptstyle\atop\scriptstyle1/4}^{\scriptstyle1\atop\scriptstyle}} \right. = \frac{{7\pi }}{{24}}$.

Phần $2$: Hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = 2 - x$; $y = 0$; $x = 1$; $x = 2$.

Khi quay trục $Ox$ phần $2$ ta được khối tròn xoay có thể tích

${V_2} = \pi \int\limits_1^2 {{{\left( {2 - x} \right)}^2}\,{\rm{d}}x} = \pi .\frac{{{{\left( {x - 2} \right)}^3}}}{3}\left| {_{\scriptstyle\atop\scriptstyle1}^{\scriptstyle2\atop\scriptstyle}} \right. = \frac{\pi }{3}$.

Vậy thể tích khối tròn xoay cần tính là $V = {V_1} + {V_2} = \frac{{5\pi }}{8}$.

Đề kiểm tra Tích phân (có lời giải) - Đề 3

Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường \(x + y - 2 = 0\)