Thể tích khối lăng trụ A B C . A ′ B ′ C ′ là:

81/120

Dựa vào thông tin dưới đây để trả lời các câu từ 80 đến 81

Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có đáy ABC là tam giác vuông tại A, \(AB = a,\,BC = 2a\). Mặt bên \(ABB'A'\) là hình thoi, mặt bên \(BCC'B'\) nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, hai mặt này hợp với nhau một góc a.

Thể tích khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) là:

\[\frac{3}{2}{a^3}\cot \alpha \].

\[3{a^3}\cot \alpha \].

\[\frac{{\sqrt 3 }}{2}{a^3}\cot \alpha \].

\[\frac{9}{2}{a^3}\cot \alpha \].

Giải thích

n (ảnh 1)

Kẻ MN vuông góc với \(BB'\) suy ra \(\widehat {ANM} = \alpha \).

Hạ \(B'H \bot BC\) thì \(B'H \bot \left( {ABC} \right)\) nên

\({V_{ABC.A'B'C'}} = B'H \cdot {S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2} \cdot B'H \cdot AB \cdot AC\).

Trong DAMN, ta có \[MN = AM \cdot \cot \widehat {ANM} = \frac{{a\sqrt 3 \cdot \cot \alpha }}{2}\].

Trong DABC, ta có

\(A{B^2} = BM \cdot BC \Rightarrow BM = \frac{{A{B^2}}}{{BC}} = \frac{{{a^2}}}{{2a}} = \frac{a}{2}\).

Từ hai tam giác vuông đồng dạng là DBHB' và DBNM, ta có:

\(\frac{{B'H}}{{MN}} = \frac{{B'B}}{{MB}}\)Þ B'H = \(\frac{{MN \cdot B'B}}{{MB}}\) = \[\frac{{\frac{{a\sqrt 3 \cdot \cot \alpha }}{2} \cdot a}}{{\frac{a}{2}}}\] = \[a\sqrt 3 \cdot \cot \alpha \].

Vậy \({V_{ABC.A'B'C'}} = \frac{1}{2} \cdot B'H \cdot AB \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot a\sqrt 3 \cdot \cot \alpha \cdot a \cdot a\sqrt 3 = \frac{3}{2}{a^3}\cot \alpha \). Chọn A.