Thể tích khối chóp S.ABC bằng

16/35

Cho hình chóp \[S.ABC\] có đáy \[ABC\] là tam giác đều cạnh bằng \[1\]. Biết khoảng cách từ \[A\] đến mặt phẳng \[\left( {SBC} \right)\] là \[\frac{{\sqrt 6 }}{4}\], từ \[B\] đến mặt phẳng \[\left( {SAC} \right)\] là \[\frac{{\sqrt {15} }}{{10}}\], từ \[C\] đến mặt phẳng \[\left( {SAB} \right)\] là \[\frac{{\sqrt {30} }}{{20}}\] và hình chiếu vuông góc của \[S\] xuống đáy nằm trong tam giác \[ABC\]. Thể tích khối chóp \[S.ABC\] bằng

\[\frac{1}{{36}}\].

\[\frac{1}{{48}}\].

\[\frac{1}{{12}}\].

\[\frac{1}{{24}}\].

Giải thích

Lời giải

Thể tích khối chóp S.ABC bằng (ảnh 1)

Gọi \(O\) là chân đường cao hạ từ \(S\) xuống mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\).

Đặt \[d\left( {O,\,BC} \right) = a\], \[d\left( {O,\,AC} \right) = b\], \[d\left( {O,AB} \right) = c\], \[SO = h\].

Ta có \[{S_{\Delta ABC}} = {S_{\Delta OBC}} + {S_{\Delta OAC}} + {S_{\Delta OAB}} \Rightarrow a + b + c = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\left( 1 \right)\].

Gọi \(OA \cap BC = M\). Từ \(O\), kẻ \(OI\) vuông góc với \(BC\) \(\left( {I \in BC} \right)\) và từ \(A\), kẻ \(AK\) vuông góc với \(BC\) \(\left( {K \in BC} \right)\).

Khi đó \[\frac{{d\left( {O,\left( {SBC} \right)} \right)}}{{d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right)}} = \frac{{OM}}{{AM}} = \frac{{OI}}{{AK}} = \frac{{2a}}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow d\left( {O,\left( {SBC} \right)} \right) = \frac{{2a}}{{\sqrt 3 }} \cdot \frac{{\sqrt 6 }}{4} = \frac{a}{{\sqrt 2 }}\].

Suy ra \[\frac{2}{{{a^2}}} = \frac{1}{{{h^2}}} + \frac{1}{{{a^2}}} \Rightarrow a = h\].

Tương tự \[\frac{{d\left( {O,\left( {SAC} \right)} \right)}}{{d\left( {B,\left( {SAC} \right)} \right)}} = \frac{{d\left( {O,AC} \right)}}{{d\left( {B,AC} \right)}} = \frac{{2b}}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow d\left( {O,\left( {SAC} \right)} \right) = \frac{{2b}}{{\sqrt 3 }} \cdot \frac{{\sqrt {15} }}{{10}} = \frac{b}{{\sqrt 5 }}\].

Suy ra \[\frac{5}{{{b^2}}} = \frac{1}{{{h^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} \Rightarrow b = 2h\].

Tương tự \[\frac{{d\left( {O,\left( {SAB} \right)} \right)}}{{d\left( {C,\left( {SAB} \right)} \right)}} = \frac{{d\left( {O,AB} \right)}}{{d\left( {C,AB} \right)}} = \frac{{2c}}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow d\left( {O,\left( {SAC} \right)} \right) = \frac{{2c}}{{\sqrt 3 }} \cdot \frac{{\sqrt {30} }}{{20}} = \frac{c}{{\sqrt {10} }}\].

Suy ra \[\frac{{10}}{{{c^2}}} = \frac{1}{{{h^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}} \Rightarrow c = 3h\,\].

Từ \[\left( 1 \right) \Rightarrow h + 2h + 3h = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow h = \frac{{\sqrt 3 }}{{12}} \Rightarrow V = \frac{1}{3} \cdot SO \cdot {S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{{48}}\]. Chọn B.