Thể tích khối chóp S . B C N M là:

85/120

Dựa vào thông tin dưới đây để trả lời các câu từ 85 đến 86

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, \(AB = BC = 2a\); hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SAC} \right)\) cùng vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\). Gọi M là trung điểm của AB; mặt phẳng chứa SM và song song với BC, cắt AC tại N. Biết góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\) bằng 60°.

Thể tích khối chóp \(S.BCNM\) là:

\(\frac{{3{a^3}\sqrt 3 }}{2}\).

\(3{a^3}\sqrt 3 \).

\(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}\).

\[{a^3}\sqrt 3 \].

Giải thích

S (ảnh 1)

Trong mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\), qua M kẻ đường thẳng song song với BC, cắt AC tại N. Do M là trung điểm của AB nên N là trung điểm của AC.

Do hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SAC} \right)\) cắt nhau theo giao tuyến SA và cùng vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) nên \(SA \bot \left( {ABC} \right)\), hay SA là đường cao của khối chóp \(S.BCNM\).

Ta có \({S_{BCNM}} = {S_{ABC}} - {S_{AMN}}\)\( = \frac{1}{2}BA \cdot BC - \frac{1}{2}MA \cdot MN\)

\( = 2{a^2} - \frac{1}{2}{a^2} = \frac{{3{a^2}}}{2}\).

Do \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SA\end{array} \right.\) nên \(\widehat {SBA}\)góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\), ta có \(\widehat {SBA} = 60^\circ \).

Trong tam giác vuông \(SAB\) ta có: \(SA = AB\tan 60^\circ = 2a\sqrt 3 \).

Vậy \({V_{S.BCNM}} = \frac{1}{3}SA \cdot {S_{BCNM}} = \frac{1}{3} \cdot 2a\sqrt 3 \cdot \frac{{3{a^2}}}{2} = {a^3}\sqrt 3 \). Chọn D.