Thể tích khối chóp S . A B C D là:

Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(S\) trên \(AB\). Do mặt bên \(\left( {SAB} \right)\) nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy nên \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\).

Chiều cao \(SH\) của tam giác đều \(SAB\) là:

\(SH = \frac{{AB\sqrt 3 }}{2} = \frac{{2a\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 \).

Diện tích hình chữ nhật \(ABCD\) là:

\({S_{ABCD}} = AB \cdot AD = 2a \cdot a = 2{a^2}\).

Thể tích khối chóp \(S.ABCD\) là:

\({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}{S_{ABCD}} \cdot SH = \frac{1}{3} \cdot 2{a^2} \cdot a\sqrt 3 = \frac{{2{a^3}\sqrt 3 }}{3}\). Chọn A.