Thể tích của khối chóp S . A B C D bằng

86/120

Thể tích của khối chóp \({\rm{S}}.{\rm{ABCD}}\) bằng

\(2{a^3}\sqrt 3 \).

\(3{a^3}\sqrt 2 \).

\(\frac{{9{a^3}\sqrt 2 }}{4}\).

\(\frac{{27{a^3}\sqrt 2 }}{4}\).

Giải thích

v (ảnh 1)

Vì \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3} \cdot {S_{ABCD}} \cdot SO\).

Ta có \({S_{ABCD}} = AB \cdot AD = 3a \cdot 3a = 9{a^2}\).

Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB, từ O kẻ \(OK \bot SM\,\,\left( {K \in SM} \right)\). Khi đó \(OK \bot \left( {SAB} \right)\).

Suy ra \(OK = d\left( {O,\left( {SAB} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Ta có \(OM = \frac{1}{2}AD = \frac{1}{2} \cdot 3a = \frac{{3a}}{2}\).

Tam giác SOM vuông tại O nên \(\frac{1}{{O{K^2}}} = \frac{1}{{S{O^2}}} + \frac{1}{{O{M^2}}}\).

Suy ra \(SO = \sqrt {\frac{1}{{\frac{1}{{O{K^2}}} - \frac{1}{{O{M^2}}}}}} = \sqrt {\frac{1}{{\frac{1}{{{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}} - \frac{1}{{{{\left( {\frac{3}{2}a} \right)}^2}}}}}} = \sqrt {\frac{9}{8}{a^2}} = \frac{{3\sqrt 2 a}}{4}\).

Vậy \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3} \cdot 9{a^2} \cdot \frac{{3\sqrt 2 a}}{4} = \frac{{9{a^3}\sqrt 2 }}{4}\). Chọn C.