Thể tích của khối chóp S . A B C bằng bao nhiêu?

30/34

Cho hình chóp \[S.ABC\] có đáy \[ABC\] là tam giác vuông cân tại \(C\) và \[AC = 4\]. Biết \[SA\] vuông góc với mặt phẳng đáy và khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \[\left( {SBC} \right)\] bằng \(\frac{{12}}{5}\). Thể tích của khối chóp \[S.ABC\] bằng bao nhiêu?

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

Đáp án: 8.

Ta có \(SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot BC\); \[\Delta ABC\] là tam giác vuông cân tại \(C \Rightarrow BC \bot AC\).

Do đó \(BC \bot \left( {SAC} \right)\).

Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) trên \(SC\).

Khi đó \(AH \bot \left( {SBC} \right)\), suy ra \(AH = d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = \frac{{12}}{5}\).

Ta có \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} \Rightarrow \frac{1}{{S{A^2}}} = \frac{1}{{A{H^2}}} - \frac{1}{{A{C^2}}} = {\left( {\frac{5}{{12}}} \right)^2} - \frac{1}{{{4^2}}} = \frac{1}{9} \Rightarrow SA = 3\).

Vậy \({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}SA\, \cdot {S_{ABC}} = \frac{1}{3}SA \cdot \frac{1}{2}A{C^2} = \frac{1}{6} \cdot 3 \cdot 16 = 8.\)