1.

$1. Một viên bi lăn từ vị trí \(A\) đến vị trí \(D\) theo đường gấp khúc \(ABCD\) hết 21 giây, biết rằng \(AB = 10{\rm{\;cm}},\) \(BC = 12{\rm{\;cm}},\) \(CD = 6{\rm{\;cm}}\) (hình vẽ bên). Hỏi nếu viên bi đó lăn theo đoạn thẳng \(AD\) thì hết bao nhiêu giây? Giả sử vận tốc của viên bi không thay đổi. (ảnh 1)$

Từ \(D\) vẽ \(Dx \bot CD\) cắt tia \(AB\) tại \(E.\)

Xét tứ giác \(BCDE\) có \(\widehat {BCD} = \widehat {CDE} = \widehat {CBE} = 90^\circ \) nên \(BCDE\) là hình chữ nhật.

Do đó \(DE = BC = 12{\rm{\;cm}},\,\,BE = CD = 6{\rm{\;cm}}.\)

Có \(AE = AB + BE = 10 + 6 = 16{\rm{\;}}\left( {{\rm{cm}}} \right).\)

Áp dụng định lí Pythagore cho \(\Delta ADE\) vuông tại \(E,\) ta được: \(A{D^2} = A{E^2} + D{E^2} = {16^2} + {12^2} = 400.\)

Suy ra \[AD = \sqrt {400} = 20{\rm{\;}}\left( {{\rm{cm}}} \right).\]

Thời gian viên bi lăn theo đoạn thẳng \(AD\) là \(\frac{{20 \cdot 21}}{{28}} = 15\) (giây).

2. a)Mặt đáy của hình chóp \(S.ABC\) là một tam giác đều \(ABC\) có cạnh \(60{\rm{ cm}}{\rm{.}}\)

Tam giác đều \(ABC\) có \(CH\)là đường cao nên\(CH\) cũng là đường trung tuyến nên

\(HA = HB = \frac{{AB}}{2} = 30{\rm{ }}\left( {{\rm{cm}}} \right){\rm{.}}\)

Áp dụng định lý Pythagore vào\(\Delta BHC\) vuông tại \(H\), ta có:

\(B{C^2} = H{B^2} + H{C^2}\) suy ra \[H{C^2} = B{C^2} - H{B^2} = {60^2} - {30^2} = 2{\rm{ }}700\].

Do đó\(CH = \sqrt {2700} = 30\sqrt 3 {\rm{ }}\left( {{\rm{cm}}} \right)\).

Vậy \(HA = 30{\rm{ cm}}\,;\,\,CH = 30\sqrt 3 {\rm{ cm}}.\)

b) Gọi \(G\) là trọng tâm của mặt đáy nên \(GH = \frac{1}{3}HC = \frac{{30\sqrt 3 }}{3} = 10\sqrt 3 {\rm{ }}\left( {{\rm{cm}}} \right)\).

Hình chóp \(S.ABC\) có đường cao \(SG\) nên \(SG \bot HC.\)

Áp dụng định lý Pythagore vào\(\Delta SHG\) vuông tại \(G\), ta có:

\(S{H^2} = S{G^2} + H{G^2} = {90^2} + {30^2} = 9\,\,000\).

Suy ra \(SH = \sqrt {9\,\,000} = 30\sqrt {10} {\rm{ }}\left( {{\rm{cm}}} \right){\rm{.}}\)

Nửa chu vi đáy là: \(P = \frac{1}{2}\left( {60 + 60 + 60} \right) = 90{\rm{ }}\left( {{\rm{cm}}} \right)\).

Diện tích xung quanh của hình chóp là \(S = P \cdot d = 90 \cdot 30\sqrt {10} \approx 8\,\,538{\rm{ }}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\).

Vậy diện tích xung quanh của hình chóp là \(8\,\,538{\rm{ c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\).

Thể tích của hình chóp là