Tham số m thuộc khoảng nào sau đây để phương trình

8/235

Tham số \(m\) thuộc khoảng nào sau đây để phương trình \(x.{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {x - 1} \right) = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_4}\left[ {9.{{(x - 1)}^{2m}}} \right]\) có hai nghiệm phân biệt.

\(m \in \left( {0;1} \right)\).

\(m \in \left( {1; + \infty } \right)\).

\(m \in \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\).

\(m \in \left( { - \infty ;0} \right)\).

Giải thích

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Giải phương trình logarit.

Lời giải

Điều kiện: \(x > 1\)

Ta có\(x.{\log _2}\left( {x - 1} \right) = {\log _4}\left[ {9.{{(x - 1)}^{2m}}} \right] \Leftrightarrow x.{\log _2}\left( {x - 1} \right) = {\log _2}3 + m.{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {x - 1} \right)\).

Đặt \(t = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {x - 1} \right)\)

Ta có phương trình \(\left( {{2^t} + 1} \right).t = {\log _2}3 + m.t\).

Ta thấy \(t = 0\) không là nghiệm của phương trình nên ta có \({2^t} + 1 - \frac{{{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}3}}{t} = m\)..

Ta đặt \(f\left( t \right) = {2^t} + 1 - \frac{{{{\log }_2}3}}{t} \Rightarrow f'\left( t \right) = {2^t}.{\rm{ln}}2 + \frac{{{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}3}}{{{t^2}}} > 0,\forall t \ne 0\).

Ta có bảng biến thiên

Tham số m thuộc khoảng nào sau đây để phương trình (ảnh 1)

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt khi \(m \in \left( {1; + \infty } \right)\).