Tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 2^(x^2) ⋅ 5^( 2x + m) = 3 có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 thỏa mãn x1 + x2 = 2 x1 x2 là

3/50

Tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để phương trình \({2^{{x^2}}} \cdot {5^{2x + m}} = 3\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\) thỏa mãn \({x_1} + {x_2} = 2{x_1}{x_2}\) là

\[m = - 1 + {\log _5}3\].

\(m = 1 + {\log _5}3\).

\(m = - 1 - {\log _5}3\).

\(m = {\log _5}3\).

Giải thích

Lấy logarit cơ số 2 của hai vế phương trình đã cho ta được

\({\log _2}\left( {{2^{{x^2}}} \cdot {5^{2x + m}}} \right) = {\log _2}3\)

\( \Leftrightarrow {x^2} + \left( {2x + m} \right){\log _2}5 - {\log _2}3 = 0\)

\( \Leftrightarrow {x^2} + \left( {2{{\log }_2}5} \right)x + m{\log _2}5 - {\log _2}3 = 0\).

Để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\) thỏa mãn \({x_1} + {x_2} = 2{x_1}{x_2}\) thì

\(\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\{x_1} + {x_2} = 2{x_1}{x_2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\log _2^25 - m{\log _2}5 + {\log _2}3 > 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\ - 2{\log _2}5 = 2m{\log _2}5 - 2{\log _2}3\,\,\,\,\,\,\,(2)\end{array} \right.\).

\((1) \Leftrightarrow m{\log _2}5 < \log _2^25 + {\log _2}3 \Leftrightarrow m < \frac{{\log _2^25 + {{\log }_2}3}}{{{{\log }_2}5}} \Leftrightarrow m < {\log _2}5 + {\log _5}3 \approx 3,004\).

\(\left( 2 \right) \Leftrightarrow {\log _2}\frac{1}{5} = {\log _2}\frac{{{5^m}}}{3} \Leftrightarrow \frac{1}{5} = \frac{{{5^m}}}{3} \Leftrightarrow {5^{m + 1}} = 3 \Leftrightarrow m = - 1 + {\log _5}3 \approx - 0,31\).

Vậy \(m = - 1 + {\log _5}3\) là giá trị cần tìm. Chọn A.