Tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y = \frac{{{x^5}}}{5} - \frac{{m{x^4}}}{4} + 2\) đạt cực đại tại x = 0.

Đặt \(y = \frac{{{x^5}}}{5} - \frac{{m{x^4}}}{4} + 2\).

Ta có: f'(x) = x⁴ – mx³.

Khi m = 0 thì f'(x) = x⁴ ≥ 0, ∀x ∈ ℝ nên hàm số không có cực trị.

Khi m ≠ 0, xét f'(x) = 0 $\iff$ x⁴ – mx³ = 0 $\iff$ x³(x – m) = 0 $\iff$ x = 0 hoặc x = m.

+ Trường hợp m > 0 ta có bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại tại x = 0.

+ Trường hợp m < 0 ta có bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại x = 0.

Như vậy, để hàm số đạt cực đại tại x = 0 thì m > 0.