Ta có: \(\cos \left( {3x + \frac{\pi }{4}} \right) = - \frac{{\sqrt 2 }}{2} = \cos \left( {\frac{{3\pi }}{4}} \right)\).

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{3x + \frac{\pi }{4} = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi }\\{3x + \frac{\pi }{4} = - \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{3x = \frac{\pi }{2} + k2\pi }\\{3x = - \pi + k2\pi }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{\pi }{6} + k\frac{{2\pi }}{3}}\\{x = - \frac{\pi }{3} + k\frac{{2\pi }}{3}}\end{array}} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Xét các nghiệm trên đoạn \(\left[ {0;\,\,\pi } \right]\):

Với họ nghiệm \(x = \frac{\pi }{6} + k\frac{{2\pi }}{3}\):

\(0 \le \frac{\pi }{6} + k\frac{{2\pi }}{3} \le \pi \Leftrightarrow - \frac{1}{6} \le \frac{{2k}}{3} \le \frac{5}{6} \Leftrightarrow - \frac{1}{4} \le k \le \frac{5}{4} \Leftrightarrow k \in \left\{ {0;\,\,1} \right\}\) .

Ứng với \(k = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi }{6}\); với \(k = 1 \Rightarrow x = \frac{{5\pi }}{6}\).

Với họ nghiệm \(x = - \frac{\pi }{3} + k\frac{{2\pi }}{3}\):

\(0 \le - \frac{\pi }{3} + k\frac{{2\pi }}{3} \le \pi \Leftrightarrow \frac{1}{3} \le \frac{{2k}}{3} \le \frac{4}{3} \Leftrightarrow \frac{1}{2} \le k \le 2 \Leftrightarrow k \in \left\{ {1;\,\,2} \right\}\).

Ứng với \(k = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi }{3}\); với \(k = 2 \Rightarrow x = \pi \).

Do đó, trên đoạn \(\left[ {0;\,\,\pi } \right]\), phương trình có các nghiệm là \(\frac{\pi }{6};\,\,\frac{{5\pi }}{6};\,\,\frac{\pi }{3};\,\,\pi \) (tổng cộng có 4 nghiệm).

Đáp án: 4.

Tập xác định của hàm số lượng giác y = cot x là