Hướng dẫn giải

a) Đ, b) Đ, c) S, d) Đ

Cho hình chóp S . A B C D có đáy A B C D là hình thang vuông tại A và D . S A vuông góc với mặt phẳng ( A B C D ) , S A = A C , S C = 2 a , A B = 2 A D = 2 D C . a) S A vuông góc với B C . b) Góc giữa đường thẳng S C và mặt phẳng ( A B C D ) bằng 45 ∘ . c) Góc giữa hai mặt phẳng ( S A C ) và ( S B C ) bằng 60 ∘ . d) Khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng ( S B C ) bằng a 2 . (ảnh 1)

a) Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot BC\).

b) Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \(AC\) là hình chiếu của đường thẳng \(SC\) trên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\).

Do đó \(\left( {SC,\left( {ABCD} \right)} \right) = \left( {SC,AC} \right) = \widehat {SCA}\).

Mà \(SA = AC\) nên tam giác \(SAC\) vuông cân tại \(A\). Suy ra \(\widehat {SCA} = 45^\circ \).

c) Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB\).

Dễ thấy \(CI = \frac{1}{2}AB\). Suy ra \(\Delta ACB\) vuông tại \(C\). Do đó \(AC \bot CB\)

Mà \(SA \bot BC\). Suy ra \(BC \bot \left( {SAC} \right)\) mà \(BC \subset \left( {SBC} \right)\). Do đó \(\left( {SBC} \right) \bot \left( {SAC} \right)\).

d) Giả sử \(AD \cap BC = \left\{ K \right\}\).

Ta có \(\frac{{d\left( {D,\left( {SBC} \right)} \right)}}{{d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right)}} = \frac{{KD}}{{KA}} = \frac{1}{2}\). Suy ra \(d\left( {D,\left( {SBC} \right)} \right) = \frac{1}{2}d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right)\).

Hạ \(AH \bot SC\) mà \(BC \bot \left( {SAC} \right)\) nên \(BC \bot AH\). Do đó \(AH \bot \left( {SBC} \right)\). Vậy \(d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = AH\).

Ta có \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} = \frac{2}{{A{C^2}}}\).

Vì tam giác \(SAC\) vuông cân cạnh \(SC = 2a\) nên \(AC = a\sqrt 2 \). Do đó \(AH = a\).

Do đó \(d\left( {D,\left( {SBC} \right)} \right) = \frac{a}{2}\).

Tập nghiệm S của bất phương trình log 2 x > 2 là: