Tập hợp M gồm hữu hạn điểm trên mặt phẳng sao cho với mọi điểm X thuộc M tồn tại đúng 4 điểm thuộc M

Rõ ràng có ít nhất hai điểm \[P,Q\] thuộc \[M\] sao cho\[PQ \ne 1\] .

Ký hiệu: \[{M_P} = \left\{ {X \in M{\rm{ | }}PX = 1} \right\}\]. Từ giả thiết \[\left| {{M_P}} \right| = 4\], ta có: \[\left| {{M_P} \cap {M_Q}} \right| \le 2\].

Nếu tồn tại \[P,{\rm{ }}Q\] sao cho \[\left| {{M_P} \cap {M_Q}} \right| \le 1\]thì \[M\] chứa ít nhất 9 điểm.

Trường hợp với mọi \[P,Q\] sao cho \[PQ \ne 1\]và \[\left| {{M_P} \cap {M_Q}} \right| = 2\].

Khi đó \[{M_P} \cap {M_Q} = \left\{ {R;S} \right\}\], lúc đó \[{M_P} = \left\{ {R;S;T;U} \right\}\] và \[{M_Q} = \left\{ {R;S;V;W} \right\}\] và giả sử \[M = \left\{ {P;Q;R;S;T;U;V;W} \right\}\], ta có \[TQ \ne 1,{\rm{ }}UQ \ne 1,{\rm{ }}VP \ne 1,{\rm{ }}WP \ne 1\].

+ Nếu \[TR,TS,UR,US\] khác 1: \[{M_T} \cap {M_Q} = {M_U} \cap {M_Q} = \left\{ {V;W} \right\}\], suy ra \[T\] hay \[U\] trùng với \[Q\], vô lý.

+ Nếu \[TR,TS,UR,US\] có một số bằng 1: Không giảm đi tính tổng quát, giả sử \[TV{\rm{ }} = {\rm{ }}1\] lúc đó \[TS \ne 1\] và \[TV{\rm{ }} = {\rm{ }}1\] hay \(T{\rm{W}} = 1\). Giả sử \[TV{\rm{ }} = {\rm{ }}1\] lúc đó \[TW \ne 1\] suy ra \[TU{\rm{ }} = {\rm{ }}1\], và \[{M_T} = {\rm{ }}\left\{ {P;R;U;V} \right\}\] và \[{M_U} = \left\{ {P;T;V;W} \right\}\] lúc đó \[UTV,{\rm{ }}RPT,UTV\] là các tam giác đều cạnh 1, ta có hình bên. Điều này mâu thuẫn vì \[VR > 2\].

Vậy \[M\] chứa ít nhất là 9 điểm. Dấu bằng xảy ra với hình dưới.

Vậy \[M\] có thể chứa ít nhất là 9 phần tử.

Đáp án cần nhập là: 9.