Tập hợp giá trị thực của tham số m để phương trình có đúng 1 nghiệm thuộc đoạn

88/235

Cho phương trình \(\left( {{\rm{cos}}x + 1} \right)\left( {4{\rm{cos}}2x - m{\rm{cos}}x} \right) = m{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x\). Tập hợp giá trị thực của tham số \(m\) để phương trình có đúng 1 nghiệm thuộc đoạn \(\left[ {\frac{\pi }{2};\pi } \right]\)?

\(\left( { - 4;4} \right)\).

\(\left( { - \infty ; - 4} \right) \cup \left( {4; + \infty } \right)\).

\(\left[ { - 4;4} \right]\).

\(\left( { - \infty ; - 4\left] \cup \right[4; + \infty } \right)\).

Giải thích

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Dựa vào đường tròn lượng giác biện luận số nghiệm

Lời giải

\(\left( {{\rm{cos}}x + 1} \right)\left( {4{\rm{cos}}2x - m{\rm{cos}}x} \right) = m{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x\)

\( \Leftrightarrow \left( {1 + {\rm{cos}}x} \right)\left( {4{\rm{cos}}2x - m{\rm{cos}}x} \right) - m\left( {1 - {\rm{cos}}x} \right)\left( {1 + {\rm{cos}}x} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {1 + {\rm{cos}}x} \right)\left( {4{\rm{cos}}2x - m{\rm{cos}}x - m\left( {1 - {\rm{cos}}x} \right)} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {1 + {\rm{cos}}x} \right)\left( {4{\rm{cos}}2x - m} \right) = 0\)

\( \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{cos}}x = - 1}\\{{\rm{cos}}2x = \frac{m}{4}}\end{array}} \right.\)

Với \(x \in \left[ {\frac{\pi }{2},\pi } \right] \Rightarrow \) phương trình \({\rm{cos}}x = - 1\) có một nghiệm \(x = \pi \)

Vậy để phương trình đã cho có đúng một nghiệm trên đoạn \(\left[ {\frac{\pi }{2};\pi } \right]\) thì phương trình \({\rm{cos}}2x = \frac{m}{4}\) vô nghiệm trên đoạn \(\left[ {\frac{\pi }{2};\pi } \right]\)

Với \(x \in \left[ {\frac{\pi }{2},\pi } \right] \Rightarrow 2x \in \left[ {\pi ;2\pi } \right]\).

Ta có đường tròn lượng giác:

Tập hợp giá trị thực của tham số m để phương trình có đúng 1 nghiệm thuộc đoạn (ảnh 1)

Dựa vào đường tròn lượng giác ta thấy phương trình \({\rm{cos}}2x = \frac{m}{4}\) vô nghiệm

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{m}{4} > 1}\\{\frac{m}{4} < - 1}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m > 4}\\{m < - 4}\end{array}} \right.} \right.\)