Tập hợp các giá trị thực của tham số m để đường thẳng d:y = - mx

32/234

Tập hợp các giá trị thực của tham số \(m\) để đường thẳng \(d:y = - mx\) cắt đồ thị của hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} - m + 2\left( C \right)\) tại ba điểm phân biệt \(A,B,C\) sao cho \(AB = BC\) là

\(m \in \left( { - \infty ; - 1} \right)\).

\(m \in \left( { - \infty ;3} \right)\)

\(m \in \left( {1; + \infty } \right)\).

\(m \in \mathbb{R}\).

Giải thích

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Tương giao đồ thị

Lời giải

Phương trình hoành độ giao điểm: \({x^3} - 3{x^2} - m + 2 = - mx \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{{x^2} - 2x + m - 2 = 0\,\,\,(*)}\end{array}} \right.\).

Để \(d\) cắt \(\left( C \right)\) tại ba điểm phân biệt \( \Leftrightarrow \left( {\rm{*}} \right)\) có hai nghiệm phân biệt khác 1

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{\Delta '}} > 0}\\{{1^2} - 2.1 + m - 2 \ne 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 - \left( {m - 2} \right) > 0}\\{m \ne 3}\end{array} \Leftrightarrow m < 3} \right.} \right.\).

Gọi \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của \(\left( {\rm{*}} \right)\). Theo định lí Viet, ta có \({x_1} + {x_2} = 2\).

Giả sử \({x_2} > 1\) thì \({x_1} = 2 - {x_2} < 1\), suy ra \({x_1} < 1 < {x_2}\).

Theo giả thiết \(BA = BC\) nên \(B\) là trung điểm của \(AC\) do đó \({x_B} = 1\) và \({x_A} = {x_1},{x_C} = {x_2}\). Khi đó ta có \({x_A} + {x_C} = 2{x_B}\) nên \(d\) luôn cắt \(\left( C \right)\) tại ba điểm phân biệt \(A,B,C\) thỏa mãn \(AB = BC\).

Vậy với \(m < 3\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.