Tam thức nào sau đây luôn dương với mọi giá trị của x?

5/38

Tam thức nào sau đây luôn dương với mọi giá trị của \(x\)?

\({x^2} - 10x + 2\);

\({x^2} - 2x - 10\);

\({x^2} - 2x + 10\);

\( - {x^2} + 2x + 10\).

Giải thích

Đáp án đúng là: C

Xét từng đáp án:

+) Tam thức \(f\left( x \right) = {x^2} - 10x + 2\) có \(a = 1 > 0\) và \(\Delta ' = {\left( { - 5} \right)^2} - 1.2 = 23 > 0\) nên tam thức này có hai nghiệm \({x_1} = 5 - \sqrt {23} ,\,\,{x_2} = 5 + \sqrt {23} \). Do đó, \(f\left( x \right) > 0\) khi và chỉ khi \(x \in \left( { - \infty ;5 - \sqrt {23} } \right) \cup \left( {5 + \sqrt {23} ; + \infty } \right)\), loại đáp án A.

+) Tam thức \(f\left( x \right) = {x^2} - 2x - 10\) có \(a = 1 > 0\) và \(\Delta ' = {\left( { - 1} \right)^2} - 1.\left( { - 10} \right) = 11 > 0\) nên tam thức này có hai nghiệm \({x_1} = 1 - \sqrt {11} ,\,\,{x_2} = 1 + \sqrt {11} \). Do đó, \(f\left( x \right) > 0\) khi và chỉ khi \(x \in \left( { - \infty ;1 - \sqrt {11} } \right) \cup \left( {1 + \sqrt {11} ; + \infty } \right)\), loại đáp án B.

+) Tam thức \(f\left( x \right) = {x^2} - 2x + 10\) có \(a = 1 > 0\) và \(\Delta ' = {\left( { - 1} \right)^2} - 1.10 = - 9 < 0\) . Do đó, \(f\left( x \right) > 0\) (cùng dấu \(a\)) với mọi số thực \(x\), chọn đáp án C.