Tam giác vuông có cạnh huyền bằng 5 cm có thể có diện tích lớn nhất bằng bao nhiêu?

Phương pháp giải: Tính độ dài cạnh góc vuông và diện tích biểu diễn qua \(x\)

Giải chi tiết:

Gọi một cạnh góc vuông là \(x\) (\(0 < x < 5\)) thì cạnh góc vuông còn lại là \(\sqrt {25 - {x^2}} \)

Như vậy, diện tích \(S = \frac{{x\sqrt {25 - {x^2}} }}{2} = \frac{{\sqrt {25{x^2} - {x^4}} }}{2}\). Đặt \(f\left( x \right) = 25{x^2} - {x^4}\)

Ta có \(f'\left( x \right) = 50x - 4{x^3}\). Khi đó \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{5\sqrt 2 }}{2}\)

Bảng biến thiên:

Vì vậy \(\mathop {max}\limits_{\left( {0{\rm{;}}5} \right)} f\left( x \right) = f\left( {\frac{{5\sqrt 2 }}{2}} \right) = \frac{{625}}{4}\)

Suy ra: \[S = \frac{{\sqrt {f\left( x \right)} }}{2} = \frac{{\sqrt {\frac{{625}}{4}} }}{2} = \frac{{25}}{4}\]

Vậy tam giác vuông có cạnh huyền bằng \(5{\rm{cm}}\) có thể có diện tích lớn nhất bằng \(\frac{{25}}{4}.\)