Tam giác vuông có cạnh huyền bằng 5 cm có thể có diện tích lớn nhất bằng bao nhiêu?

Đặt một cạnh góc vuông là \(x(x > 0)\) thì cạnh còn lại là \(\sqrt {5 - {x^2}} \) Diện tích tam giác vuông là: \(f(x) = x\sqrt {5 - {x^2}} \)

Tập xác định: \(D = (0;\sqrt 5 ]\); \({f^\prime }(x) = \sqrt {5 - {x^2}} - \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {5 - {x^2}} }}\)

Tập xác định mới: \({D_1} = (0;\sqrt 5 )\); \({f^\prime }(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{{\sqrt {10} }}{2}}\\{x = - \frac{{\sqrt {10} }}{2}}\\{{\rm{ ( loai }})}\end{array}} \right.\)

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta thấy \({\max _D}f(x) = f\left( {\frac{{\sqrt {10} }}{2}} \right) = \frac{5}{2}\) . Vậy diện tích lớn nhất của tam giác là \(\frac{5}{2}\)