Tam giác mà ba đỉnh của nó là trung điểm ba cạnh của tam giác ABC được gọi là tam giác

59/62

Tam giác mà ba đỉnh của nó là trung điểm ba cạnh của tam giác ABC được gọi là tam giác trung bình của tam giác ABC. Ta xây dựng dãy các tam giác A₁B₁C₁, A₂B₂C₂, A₃B₃C₃... sao cho tam giác A₁B₁C₁là tam giác đều cạnh bằng 3 và với mỗi số nguyên dương n ≥ 2, tam giác A_nB_nC_n là tam giác trung bình của tam giác A_n-1B_n-1C_n-1. Với mỗi số nguyên dương n, kí hiệu S_n tương ứng là diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác A_nB_nC_n. Tính tổng S = S₁ + S₂ + ... + S_n + ...

S=15π4.

S=4π.

S=9π2.

S=5π.

Giải thích

Tam giác A1B1C1 có bán kính đường tròn ngoại tiếp là R1=23.3.32=3⇒S1=π.R12=3π.

Tam giác A2B2C2 có bán kính đường tròn ngoại tiếp là R2=32⇒S2=π.R22=14.3π=14S1.

Tam giác A3B3C3 có bán kính đường tròn ngoại tiếp là R3=34⇒S3=π.R32=116⋅3π=14S2.

...........................................................................
Tam giác AnBnCn có bán kính đường tròn ngoại tiếp là Rn=32n−1⇒Sn=14Sn−1.
Suy ra S là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn, có u1=S1=3π, công bội q=14.
Vậy S=S11−14=4π.Chọn B