Tam giác DEF vuông cân tại E có EI = \[\sqrt {10} \] cm, \[IH \bot DE\], \[IK \bot EF\]. Biết DE2 + EF2 = DF2, chu vi tứ giác HEKI là:

Đáp án đúng là: B

Tam giác DEF vuông cân tại E có EI là đường trung tuyến nên EI = \[\frac{1}{2}\]DF = DI = IF.

Suy ra: DF = 2DI = \[{\rm{2}}\sqrt {10} \] cm.

Theo đề bài, ta có: DE² + EF² = DF²

Mà tam giác DEF vuông cân tại E nên DE = EF.

Suy ra: 2DE² = DF²

\[{\rm{D}}{{\rm{E}}^2} = \frac{1}{2}{\rm{D}}{{\rm{F}}^2}{\rm{ = }}\frac{1}{2}.{\left( {2\sqrt {10} } \right)^2}{\rm{ = 20}}\]

DE = \[{\rm{2}}\sqrt 5 \] cm

Do đó, EF = \[{\rm{2}}\sqrt 5 \] cm.

Tam giác DEI có DI = EI nên tam giác DEI cân tại I. Mặt khác, IH là đường cao đồng thời là đường trung tuyến nên H là trung điểm của DE.

Suy ra: HE = \[\frac{1}{2}\]DE = \[\frac{1}{2}\].\[{\rm{2}}\sqrt 5 \] = \[\sqrt 5 \] (cm).

Tam giác EIF có EI = IF nên tam giác EIF cân tại I.

Mặt khác, IK là đường cao đồng thời là đường trung tuyến nên K là trung điểm của EF.

Suy ra: EK = \[\frac{1}{2}\]EF = \[\frac{1}{2}\].\[{\rm{2}}\sqrt 5 \] = \[\sqrt 5 \] (cm).

Tứ giác HEKI có \[\widehat E = \widehat {IHE} = \widehat {IKE} = 90^\circ \] (vì \[IH \bot DE\], \[IK \bot EF\]) nên tứ giác HEKI là hình chữ nhật.

Suy ra: HE = IK = \[\sqrt 5 \] cm, EK = HI = \[\sqrt 5 \] cm.

Chu vi hình chữ nhật HEKI là: (HE + EK).2 = \[\left( {\sqrt 5 + \sqrt 5 } \right) \cdot 2 = 4\sqrt 5 \] (cm).