Tam giác ABC vuông cân tại A nội tiếp trong đường tròn tâm O bán kính R và có bán kính đường tròn nội tiếp tam giác là r . Khi đó tỉ số R /r là

15/24

Tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\) nội tiếp trong đường tròn tâm \(O\) bán kính \(R\) và có bán kính đường tròn nội tiếp tam giác là \(r\). Khi đó tỉ số \(\frac{R}{r}\) là

\(1 + \sqrt 2 \);

\(\frac{{2 + \sqrt 2 }}{2}\);

\(\frac{{\sqrt 2 - 1}}{2}\);

\(\frac{{1 + \sqrt 2 }}{2}\).

Giải thích

Đáp án đúng là: A

Giả sử ta có \(AB = AC = a\), do tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\) nên \(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = \sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2 \) và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác là \(R = \frac{{BC}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

Nửa chu vi tam giác \(ABC\) là \(p = \frac{{AB + AC + BC}}{2} = \frac{{a + a + a\sqrt 2 }}{2} = \frac{{\left( {2 + \sqrt 2 } \right)a}}{2}\).

Diện tích tam giác \(ABC\) là \(S = \frac{1}{2}AB \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a = \frac{{{a^2}}}{2}\).

Lại có \(S = pr\) với \(r\) là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC\).

Suy ra \(r = \frac{S}{p} = \frac{{\frac{{{a^2}}}{2}}}{{\frac{{\left( {2 + \sqrt 2 } \right)a}}{2}}} = \frac{a}{{2 + \sqrt 2 }}\). Vậy \(\frac{R}{r} = \frac{{\frac{{a\sqrt 2 }}{2}}}{{\frac{a}{{2 + \sqrt 2 }}}} = 1 + \sqrt 2 \).