tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có các đường cao BE, CF cắt nhau tại H. Gọi M là trung điểm của BC. (a) Chứng minh rằng tứ giác AEHF nội tiếp . (b) Chứng minh AC2 = AF.AB+ CH.CF. (c) Đườ

a) Gọi I là trung điểm AH.

\[\Delta AEH\]vuông tại E có EI là đường trung tuyến nên \[IE = IA = IH = \frac{{AH}}{2}\]

\[\Delta AFH\]vuông tại F có EI là đường trung tuyến nên \[IF = IA = IH = \frac{{AH}}{2}\]

Bốn điểm A, E, F , H cách đều điểm I . Nên tứ giác AEFH nội tiếp đường tròn (I)

b) Chứng minh \[\Delta AFC \sim \Delta HFB\]

Suy ra \[\frac{{AF}}{{HF}} = \frac{{FC}}{{FB}}\]

Hay AF.AB + HC.FC = AF² + FC² = AC²

Kẻ đường kính AK .

Chứng minh: BH // KC và CH // BK . Suy ra tứ giác BHCK là hình bình hành. Từ đó suy ra H, M, K thẳng hàng.

Xét (I) có \[A\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\frown$}} \over G} H = {90^0}\]suy ra GA vuông góc GH

Xét (O) có \[A\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\frown$}} \over G} K = {90^0}\]suy ra GA vuông góc GK

Suy ra G, H, K thẳng hàng

Từ đó suy ra G, H, M thẳng hàng (đpcm)