Tam giác ABC có \[\widehat A = 60^\circ \], các tia phân giác của góc B và C cắt nhau tại I. Các tia phân giác góc ngoài tại đỉnh B và C cắt nhau tại K. Số đo các góc \[\widehat {BIC};\,\,\wi

9/25

Tam giác ABC có \[\widehat A = 60^\circ \], các tia phân giác của góc B và C cắt nhau tại I. Các tia phân giác góc ngoài tại đỉnh B và C cắt nhau tại K. Số đo các góc \[\widehat {BIC};\,\,\widehat {BKC}\] là

\[\widehat {BIC} = 100^\circ ;\,\,\widehat {BKC} = 80^\circ \];

\[\widehat {BIC} = 90^\circ ;\,\,\widehat {BKC} = 90^\circ \];

\[\widehat {BIC} = 60^\circ ;\,\,\widehat {BKC} = 120^\circ \];

\[\widehat {BIC} = 120^\circ ;\,\,\widehat {BKC} = 60^\circ \].

Giải thích

Đáp án đúng là: D

Kéo dài đoạn AB và AC ta được lần lượt tia Ax và Ay

Xét tam giác ABC có: \(\widehat {\rm{A}} + \widehat {{\rm{ABC}}} + \widehat {{\rm{BCA}}} = 180^\circ \)

Tương đương \(60^\circ + \widehat {{\rm{ABC}}} + \widehat {{\rm{BCA}}} = 180^\circ \)

Tương đương \(\widehat {{\rm{ABC}}} + \widehat {{\rm{BCA}}} = 120^\circ \)

Vì BI là phân giác của \(\widehat {{\rm{ABC}}}\) suy ra \(\widehat {{\rm{CBI}}} = \frac{1}{2}\widehat {{\rm{ABC}}}\)

Vì Cl là phân giác \(\widehat {{\rm{BCA}}}\)suy ra \(\widehat {{\rm{BCI}}} = \frac{1}{2}\widehat {{\rm{BCA}}}\)

Từ đó \(\widehat {{\rm{CBI}}} + \widehat {{\rm{BCI}}} = \frac{1}{2}\left( {\widehat {{\rm{ABC}}} + \widehat {{\rm{BCA}}}} \right) = \frac{1}{2}\,\,.\,\,120^\circ = 60^\circ \)

Xét tam giác BCI có \(\widehat {{\rm{CBI}}} + \widehat {{\rm{BCI}}} + \widehat {{\rm{BIC}}} = 180^\circ \) nên

\(\widehat {{\rm{BIC}}} = 180^\circ - \left( {\widehat {{\rm{CBI}}} + \widehat {{\rm{BCI}}}} \right) = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \)

Vì BI là phân giác của \(\widehat {{\rm{ABC}}}\) suy ra \(\widehat {{\rm{CBI}}} = \frac{1}{2}\widehat {{\rm{ABC}}}\)

Vì BK là phân giác \(\widehat {{\rm{CBx}}}\) suy ra \(\widehat {{\rm{CBK}}} = \frac{1}{2}\widehat {{\rm{CBx}}}\)

Suy ra \[\widehat {{\rm{CBK}}} + \widehat {{\rm{CBI}}} = \frac{1}{2}\left( {\widehat {{\rm{CBX}}} + \widehat {{\rm{ABC}}}} \right) = \frac{1}{2}\,\,.\,\,180^\circ = 90^\circ \] suy ra \[\widehat {{\rm{IBK}}} = 90^\circ \].

Tương tự ta có: \(\widehat {{\rm{ICK}}} = 90^\circ \)

Xét tứ giác BICK có \(\widehat {{\rm{BIC}}} + \widehat {{\rm{ICK}}} + \widehat {{\rm{BKC}}} + \widehat {{\rm{IBK}}} = 360^\circ \) (tính chất tổng các góc trong của tứ giác)

Suy ra \(\widehat {{\rm{BKC}}} = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 120^\circ = 60^\circ \)

Vậy \(\widehat {{\rm{BIC}}} = 120^\circ \,;\,\,\widehat {{\rm{BKC}}} = 60^\circ .\)