Tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM,CN vuông góc với nhau và có BC = 6, góc BAC = 30 độ. Tính diện tích góc ABC (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

46/55

Tam giác \(ABC\) có hai đường trung tuyến \(BM,CN\) vuông góc với nhau và có \(BC = 6\), \(\widehat {BAC} = 30^\circ \). Tính diện tích \(\Delta ABC\) (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Giải thích

Lời giải

Tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM,CN vuông góc với nhau và có BC = 6, góc BAC = 30 độ. Tính diện tích góc ABC (kết quả làm tròn đến hàng phần chục). (ảnh 1)

Đặt \(AC = b,AB = c\).

Ta có \(B{C^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos 30^\circ = {b^2} + {c^2} - bc\sqrt 3 \Rightarrow bc\sqrt 3 = {b^2} + {c^2} - 36\) (1).

Áp dụng định lí côsin cho tam giác \(ABM\), có \(B{M^2} = {c^2} + \frac{{{b^2}}}{4} - bc\cos A = {c^2} + \frac{{{b^2}}}{4} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}bc\)\( \Leftrightarrow B{M^2} = {c^2} + \frac{{{b^2}}}{4} - \frac{{{b^2} + {c^2} - 36}}{2} = \frac{{{c^2}}}{2} - \frac{{{b^2}}}{4} + 18\).

Áp dụng định lí côsin cho tam giác \(ACN\), \(C{N^2} = {b^2} + \frac{{{c^2}}}{4} - \frac{{bc\sqrt 3 }}{2}\)\( = {b^2} + \frac{{{c^2}}}{4} - \frac{{{b^2} + {c^2} - 36}}{2} = \frac{{{b^2}}}{2} - \frac{{{c^2}}}{4} + 18\).

Lại có \(B{G^2} + C{G^2} = 36\)\( \Leftrightarrow \frac{4}{9}\left( {B{M^2} + C{N^2}} \right) = 36\)\( \Leftrightarrow B{M^2} + C{N^2} = 81\)\( \Leftrightarrow \frac{{{c^2}}}{2} - \frac{{{b^2}}}{4} + 18 + \frac{{{b^2}}}{2} - \frac{{{c^2}}}{4} + 18 = 81\)

\( \Leftrightarrow \frac{{{c^2}}}{4} + \frac{{{b^2}}}{4} = 45\)\( \Leftrightarrow {c^2} + {b^2} = 180\) (2).

Từ (1) và (2), suy ra \(bc = 48\sqrt 3 \).

Khi đó \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2} \cdot 48\sqrt 3 \cdot \sin 30^\circ = 12\sqrt 3 \approx 20,8\).

Trả lời: 20,8.