Tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM, CN vuông góc với nhau và có BC = 3, góc BAC = 30°. Tính diện tích tam giác ABC.

Gọi E là giao điểm của BM và CN.

Ta có công thức đường trung tuyến:

CN2=CA2+CB22−AB24=b2+a22−c24⇒CE2=49CN2=49b2+a22−c24BM2=BA2+BC22−CA24=c2+a22−b24⇒BE2=49BM2=49c2+a22−b24

Trong tam giác ABC có: BM ⊥ CN nên tam giác CEB vuông tại E

=> CE² + BE² = BC²

^{⇒49b2+a22−c24+49c2+a22−b24=a2⇔19b2+19c2+49a2=a2⇔5a2=b2+c2}

Tam giác ABC có:

a² = b² + c² − 2bc.cos A = 5a² − 2bc.cos A

⇒bc=2a2cosA

Khi đó: S=12bc.sinA=12.2a2cosA.sinA=a2.tanA=a2.tan30°=33