Tam giác $ABC$ có hai đường trung tuyến $BM,CN$ vuông góc với nhau và

40/54

Tam giác $ABC$ có hai đường trung tuyến $BM,CN$ vuông góc với nhau và có $BC = 6$, $\widehat {BAC} = 30^\circ $. Tính diện tích $\Delta ABC$ (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Giải thích

$Tam giác $ABC$ có hai đường trung tuyến $BM,CN$ vuông góc với nhau và (ảnh 1)$

Đặt $AC = b,AB = c$.

Ta có $B{C^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos 30^\circ = {b^2} + {c^2} - bc\sqrt 3 \Rightarrow bc\sqrt 3 = {b^2} + {c^2} - 36$ (1).

Áp dụng định lí côsin cho tam giác $ABM$, có $B{M^2} = {c^2} + \frac{{{b^2}}}{4} - bc\cos A = {c^2} + \frac{{{b^2}}}{4} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}bc$$ \Leftrightarrow B{M^2} = {c^2} + \frac{{{b^2}}}{4} - \frac{{{b^2} + {c^2} - 36}}{2} = \frac{{{c^2}}}{2} - \frac{{{b^2}}}{4} + 18$.

Áp dụng định lí côsin cho tam giác $ACN$, $C{N^2} = {b^2} + \frac{{{c^2}}}{4} - \frac{{bc\sqrt 3 }}{2}$$ = {b^2} + \frac{{{c^2}}}{4} - \frac{{{b^2} + {c^2} - 36}}{2} = \frac{{{b^2}}}{2} - \frac{{{c^2}}}{4} + 18$.

Lại có $B{G^2} + C{G^2} = 36$$ \Leftrightarrow \frac{4}{9}\left( {B{M^2} + C{N^2}} \right) = 36$$ \Leftrightarrow B{M^2} + C{N^2} = 81$$ \Leftrightarrow \frac{{{c^2}}}{2} - \frac{{{b^2}}}{4} + 18 + \frac{{{b^2}}}{2} - \frac{{{c^2}}}{4} + 18 = 81$

$ \Leftrightarrow \frac{{{c^2}}}{4} + \frac{{{b^2}}}{4} = 45$$ \Leftrightarrow {c^2} + {b^2} = 180$ (2).

Từ (1) và (2), suy ra $bc = 48\sqrt 3 $.

Khi đó ${S_{ABC}} = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2} \cdot 48\sqrt 3 \cdot \sin 30^\circ = 12\sqrt 3 \approx 20,8$.

Bài tập ôn tập Toán 10 Kết nối tri thức Chương 3 có đáp án

Tam giác \(ABC\) có hai đường trung tuyến \(BM,CN\) vuông góc với nhau và