Tam giác ABC có đoạn thẳng nối trung điểm của AB và BC bằng 3, cạnh AB = 9 và góc ACB = 60 độ. Tính độ dài cạnh BC.

26/55

Tam giác \(ABC\) có đoạn thẳng nối trung điểm của \(AB\) và \(BC\) bằng 3, cạnh \(AB = 9\) và \(\widehat {ACB} = 60^\circ \). Tính độ dài cạnh \(BC\).

\(BC = 3 + 3\sqrt 6 \).

\(BC = 3\sqrt 6 - 3\).

\(BC = 3\sqrt 7 \).

\(BC = \frac{{3 + 3\sqrt {33} }}{2}\).

Giải thích

Lời giải

Tam giác ABC có đoạn thẳng nối trung điểm của AB và BC bằng 3, cạnh AB = 9 và góc ACB = 60 độ. Tính độ dài cạnh BC. (ảnh 1)

Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(BC\).

Khi đó \(MN\) là đường trung bình của \(\Delta ABC\). Suy ra \(MN//AC\)\( \Rightarrow \widehat {ACB} = \widehat {MNB} = 60^\circ \).

Vì \(AB = 9 \Rightarrow BM = 4,5\).

Xét \(\Delta BMN\) có \(B{M^2} = M{N^2} + B{N^2} - 2MN \cdot BN \cdot \cos \widehat {MNB}\)\( \Leftrightarrow {4,5^2} = {3^2} + B{N^2} - 2 \cdot 3 \cdot BN \cdot \cos 60^\circ \)

\( \Leftrightarrow B{N^2} - 3 \cdot BN - \frac{{45}}{4} = 0\)\( \Leftrightarrow BN = \frac{{3 + 3\sqrt 6 }}{2}\).

Vì \(N\) là trung điểm của \(BC\) nên \(BC = 2BN = 3 + 3\sqrt 6 \). Chọn A.