Bộ 5 đề thi giữa kì 2 Toán 8 Kết nối tri thức (Tự luận) có đáp án - Đề 5
Xem toàn bộ quiz

Tam giác \(ABC\) cân tại \(A,\) \(AB = AC = 100{\rm{\;cm}},\) \(BC = 120{\rm{\;cm}},\) các đường cao

5/6

Tam giác \(ABC\) cân tại \(A,\)\(AB = AC = 100{\rm{\;cm}},\)\(BC = 120{\rm{\;cm}},\) các đường cao \(AD\) và \(BE\) cắt nhau tại \(H.\)

a) Tính độ dài đoạn thẳng \(AD.\)      b) Chứng minh

c) Tính độ dài đoạn thẳng \(HD,\,\,HB.\)                            d) Tính độ dài đoạn thẳng \(HE.\)

0/3000 ký tự
Giải thích

Hướng dẫn giải

a) Xét \(\Delta ABC\) cân tại \(A\) có đường cao \(AD\) nên đồng thời là đường trung tuyến, đo dó

\(BD = CD = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} \cdot 120 = 60{\rm{\;cm}}.\)

Áp dụng định lí Pythagore cho \(\Delta ABD\) vuông tại \(D,\) ta có:

Tam giác \(ABC\) cân tại \(A,\) \(AB = AC = 100{\rm{\;cm}},\) \(BC = 120{\rm{\;cm}},\) các đường cao (ảnh 1)

\(A{B^2} = A{D^2} + B{D^2},\) suy ra \(A{D^2} = A{B^2} - B{D^2} = {100^2} - {60^2} = 6\,\,400.\)

Do đó \(AD = \sqrt {6\,\,400} = 80{\rm{\;cm}}.\)

b) Xét \(\Delta BDH\) và \(\Delta ADC\) có:

\(\widehat {BDH} = \widehat {ADC} = 90^\circ \) và \(\widehat {HBD} = \widehat {DAC}\) (cùng phụ với \(\widehat {ECB}).\)

Do đó  (g.g).

c) Theo câu b,  suy ra \(\widehat {BHD} = \widehat {ACD}\) (hai góc tương ứng).

Mà \(\widehat {ABD} = \widehat {ACD}\) (do \(\Delta ABC\) cân tại \(A),\) nên \(\widehat {BHD} = \widehat {ABD}.\)

Xét \(\Delta BDH\) và \(\Delta ADB\) có:

\(\widehat {BDH} = \widehat {ADB} = 90^\circ \) và \(\widehat {BHD} = \widehat {ABD}\)

Do đó  (g.g).

Suy ra \(\frac{{BD}}{{AD}} = \frac{{BH}}{{AB}} = \frac{{DH}}{{DB}}\) (tỉ số cạnh tương ứng).

Hay \(\frac{{60}}{{80}} = \frac{{BH}}{{100}} = \frac{{DH}}{{60}},\) suy ra \(BH = \frac{{60 \cdot 100}}{{80}} = 75{\rm{\;cm}}\) và \(DH = \frac{{60 \cdot 60}}{{80}} = 45{\rm{\;cm}}.\)

d) Ta có \(AH = AD - DH = 80 - 45 = 35{\rm{\;cm}}.\)

Xét \(\Delta BDH\) và \(\Delta BEC\) có:

\(\widehat {BDH} = \widehat {BEC} = 90^\circ \) và \(\widehat {EBC}\) là góc chung.

Do đó  (g.g).

Xét \(\Delta BDH\) và \(\Delta AEH\) có:

\(\widehat {BDH} = \widehat {AHE} = 90^\circ \) và \(\widehat {BHD} = \widehat {AHE}\) (đối đỉnh).

Do đó  (g.g).

Mà  nên  

Do đó \(\frac{{HE}}{{BD}} = \frac{{AH}}{{AB}}\) (tỉ số cạnh tương ứng), hay \(\frac{{HE}}{{60}} = \frac{{35}}{{100}},\) suy ra \(HE = \frac{{60 \cdot 35}}{{100}} = 21{\rm{\;}}\left( {{\rm{cm}}} \right).\)