Tại thời điểm \(t\), vị trí tàu \(A\) là \(M(3 - 33t; - 4 + 25t)\), vị trí của tàu \(B\)

19/22

Tại thời điểm \(t\), vị trí tàu \(A\) là \(M(3 - 33t; - 4 + 25t)\), vị trí của tàu \(B\) là \(N(4 - 30t;3 - 40t)\). Ta có \(MN = \sqrt {{{(1 + 3t)}^2} + {{(7 - 65t)}^2}} = \sqrt {4234{t^2} - 904t + 50} \).

\(MN\) nhỏ nhất khi hàm bậc hai \(f(t) = 4234{t^2} - 904t + 50\) đạt giá trị nhỏ nhất, lúc đó: \(x = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{{ - 904}}{{2.4234}} = \frac{{226}}{{2117}} \approx 0,107\) (giây).

Giải thích

Hai đường thẳng đã cho có cặp vectơ pháp tuyến \({\vec n_1} = (1; - m),{\vec n_2} = (1;m)\).

Ta có: \(\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {{{\vec n}_1} \cdot {{\vec n}_2}} \right|}}{{\left| {{{\vec n}_1}} \right| \cdot \left| {{{\vec n}_2}} \right|}} = \frac{{\left| {1 - {m^2}} \right|}}{{\sqrt {1 + {m^2}} \cdot \sqrt {1 + {m^2}} }} = \cos 60^\circ \Rightarrow \frac{{\left| {1 - {m^2}} \right|}}{{1 + {m^2}}} = \frac{1}{2}\)

\( \Rightarrow 2\left| {1 - {m^2}} \right| = 1 + {m^2} \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{2(1 - {m^2}) = 1 + {m^2}}\\{2(1 - {m^2}) = - 1 - {m^2}}\end{array} \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{3{m^2} = 1}\\{{m^2} = 3}\end{array} \Rightarrow m = \pm \sqrt 3 \vee m = \pm \sqrt {\frac{1}{3}} } \right.} \right.{\rm{. }}\)

Vậy \(m = \pm \sqrt 3 \vee m = \pm \sqrt {\frac{1}{3}} \) thỏa mãn đề bài.