Tại một trạm quan trắc khí tượng, các kỹ sư sử dụng một dụng cụ đo mưa chuyên dụng có dạng hình nón ngược với đường kính miệng nón bằng 200 mm và chiều cao khối nón bằng 300 mm.
15/22
Tại một trạm quan trắc khí tượng, các kỹ sư sử dụng một dụng cụ đo mưa chuyên dụng có dạng hình nón ngược với đường kính miệng nón bằng \(200\)mm và chiều cao khối nón bằng \(300\)mm. Vào một buổi chiều mùa hạ, có một cơn mưa rào kéo dài trong đúng \(4\) giờ. Các thiết bị cảm biến đo được cường độ mưa biến thiên theo thời gian được mô tả bởi công thức \(v\left( t \right) = - 1,5{t^2} + 6t\)(đơn vị: mm/giờ), trong đó \(t\) là thời gian tính từ lúc bắt đầu mưa. Giả sử ban đầu dụng cụ đo khô ráo, không có nước
Cường độ mưa lớn nhất trong suốt trận mưa này đạt \(6\)mm/giờ
Tổng lượng mưa của cả trận mưa là \(12,5\)mm
Thể tích nước mưa thực tế thu được trong dụng cụ đo sau \(4\) giờ là \(160\pi \)(cm3)
Kết thúc trận mưa, mực nước trong dụng cụ đo dân lên đến chiều cao \(163\)mm (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)
Xét mệnh đề a)
Xét hàm số \(v\left( t \right) = - 1,5{t^2} + 6t\)có đồ thì là parabol bề lõm quay xuống, đạt cực đại tại \(t = 2\)
Suy ra \({v_{\max }}\left( 2 \right) = 6\)(mm/giờ) nên mệnh đề a) đúng
Xét mệnh đề b)
Gọi \(h\)(mm) là tổng lượng mưa của cả trận: \[h = \int\limits_0^4 {\left( { - 1,5{t^2} + 6t} \right)} \,{\rm{d}}t = 16\](mm) nên mệnh đề b) sai
Xét mệnh đề c)
Dụng cụ đo có miệng hình tròn bán kính \(R = 100\)mm\( = 10\)(cm).
Lượng mưa \[h = 16\]mm\( = 1,6\)m là độ cao nước rơi xuống trên một đơn vị diện tích bề mặt ngang. Thể tích nước thu được trong phễu chính bằng diện tích miệng phễu nhân với chiều cao lượng mưa: \(V = \pi {.10^2}.1,6 = 160\pi \)(cm3) nên mệnh đề c) đúng
Xét mệnh đề d)
Gọi \({h_x}\) là chiều cao, \(r\) là bán kính tương ứng thì theo định lý Ta let: \(\frac{r}{R} = \frac{{{h_x}}}{h} \Rightarrow r = \frac{{R{h_x}}}{h}\)
Thể tích nước trong phiễu theo \({h_x}\): \(V = \frac{1}{3}.\pi .{r^2}.{h_x} = \frac{1}{3}.\pi .{\left( {\frac{{100{h_x}}}{{300}}} \right)^2}.{h_x} = 160\pi \Rightarrow {h_x} \approx 163\)(mm)
nên mệnh đề d) đúng