Tại một tòa án, một thẩm phán xem xét vụ án trộm cắp. Dựa vào bằng chứng ngoại phạm, nghi phạm có thể có tội với xác suất 0,6 hoặc vô tội với xác suất 0,4. Hệ thống nhân chứng nhận diện: nếu

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.           b) Đúng.               c) Đúng.                d) Đúng.

Gọi A là biến cố “Nghi phạm có tội”;

B là biến cố “Nhân chứng khẳng định nghi phạm chính là kẻ trộm”.

Theo đề ta có P(A) = 0,6; \(P\left( {\overline A } \right) = 0,4\); P(B|A) = 0,85; \(P\left( {B|\overline A } \right) = 0,1\).

a) Đúng. \(P\left( B \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right) \cdot P\left( {B|\overline A } \right)\) = 0,6×0,85 + 0,4×0,1 = 0,55.

b) Đúng. \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right) \cdot P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0,6 \cdot 0,85}}{{0,55}} = \frac{{51}}{{55}}\).

c) Đúng. \(P\left( {\overline A |B} \right) = \frac{{P\left( {\overline A } \right) \cdot P\left( {B|\overline A } \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0,4 \cdot 0,1}}{{0,55}} = \frac{4}{{55}}\).

d) Đúng. Theo câu b, Xác suất nghi phạm có tội là \(\frac{{51}}{{55}} \approx 92,7\% \).