Tại một thành phố, người ta thực hiện xét nghiệm đại trà để phát hiện Virus X. Qua thống kê, tỉ lệ người dân có kết quả xét nghiệm Dương tính (được máy báo là nhiễm bệnh) là 12 % . Tuy nhiên

Gọi các biến cố:

\(A\): "Người được chọn có kết quả xét nghiệm Dương tính". Ta có \(P(A) = 0,12\).

\(\bar A\): "Người được chọn có kết quả xét nghiệm Âm tính". Suy ra \(P(\bar A) = 1 - 0,12 = 0,88\).

\(B\): "Người được chọn thực sự đang nhiễm bệnh".

\(\bar B\): "Người được chọn thực sự không nhiễm bệnh".

Theo giả thiết bài toán:

Trong số người Dương tính, có \(5\% \) không nhiễm bệnh: \(P(\bar B|A) = 0,05\).

Trong số người Âm tính, có \(2\% \) nhiễm bệnh: \(P(B|\bar A) = 0,02\). Suy ra \(P(\bar B|\bar A) = 1 - 0,02 = 0,98\).

a) SAI

Xác suất để người đó có kết quả Âm tính là\(0,98\).

Ta cần tính xác suất biến cố \(\bar A\).

Theo tính toán ở trên: \(P(\bar A) = 1 - P(A) = 1 - 0,12 = 0,88\).

Vì \(0,88 \ne 0,98\), nên nhận định (a) là SAI.

b) ĐÚNG

Xác suất để người đó thực sự không nhiễm bệnh, biết rằng kết quả xét nghiệm là Âm tính, bằng \(0,98\).

Đây chính là xác suất có điều kiện \(P(\bar B|\bar A)\).

Theo dữ kiện đã phân tích ở trên: \(P(\bar B|\bar A) = 0,98\).

Nhận định (b) là ĐÚNG.

c) ĐÚNG

Xác suất để người đó thực sự không nhiễm bệnh là \(0,8684\).

Ta cần tính \(P(\bar B)\). Áp dụng công thức xác suất toàn phần:

\(P(\bar B) = P(A) \cdot P(\bar B|A) + P(\bar A) \cdot P(\bar B|\bar A)\)

\(P(\bar B) = 0,12 \cdot 0,05 + 0,88 \cdot 0,98\)

\(P(\bar B) = 0,006 + 0,8624 = 0,8684\)

Nhận định (c) là ĐÚNG.

d) SAI

Xác suất để người đó có kết quả Âm tính, biết rằng người đó thực sự không nhiễm bệnh bé hơn\(0,99\).

Ta cần tính \(P(\bar A|\bar B)\). Áp dụng định lý Bayes:

\(P(\bar A|\bar B) = \frac{{P(\bar A) \cdot P(\bar B|\bar A)}}{{P(\bar B)}}\)

\(P(\bar A|\bar B) = \frac{{0,88 \cdot 0,98}}{{0,8684}} = \frac{{0,8624}}{{0,8684}} \approx 0,9931\)

Vì \(0,9931 > 0,99\), nên phát biểu "bé hơn 0,99" là không chính xác.

Nhận định (d) là SAI.