Tại một sân bay, chọn hệ trục Oxyz có gốc tọa độ O trùng với phòng bán vé của sân bay, mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt đất sao cho trục Ox hướng về phía nam, trục Oy hướng về phía tây, trục Oz
16/22
Tại một sân bay, chọn hệ trục \(Oxyz\) có gốc tọa độ \(O\) trùng với phòng bán vé của sân bay, mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) trùng với mặt đất sao cho trục \(Ox\) hướng về phía nam, trục \(Oy\) hướng về phía tây, trục \(Oz\) hướng thẳng đứng. Một máy bay đang ở tại điểm \(A\) cách mặt đất \(120\,{\rm{km}}\), cách \(75\,{\rm{km}}\) về phía đông và cách \({\rm{66}}\,{\rm{km}}\)về phía nam so với phòng vé của sân bay. Biết rằng máy bay chuyển động thẳng đều với vận tốc là \(240\,{\rm{km/h}}\) sẽ hạ cách tại điểm \(B\left( {2;\,1;\,0} \right)\) trong sân bay.
Tọa độ của điểm \(A\left( {66;\, - 75;\,120} \right)\).
Thời gian mà máy bay sẽ bay từ điểm \(A\) đến điểm \(B\) là 39 phút.
Giả sử có một lớp mây được mô phỏng bởi mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua ba điểm \(M\left( {25;\,0;\,0} \right)\), \(N\left( {0;\,25;\,0} \right)\), \(P\left( {0;\,0;30} \right)\). Độ cao của máy bay khi máy bay xuyên qua đám mây là \(18\,{\rm{km}}\).
Đài quan sát không lưu đặt tại điểm \(S\left( {0;\, - 124;\,0,1} \right)\) có phạm vi theo dõi là \(125\,{\rm{km}}{\rm{.}}\)Khi tiếp đất máy bay sẽ di chuyển thêm \(2\,{\rm{km}}\) về phía tây rồi mới dừng hẳn. Lúc này đài quan sát sẽ không nhìn thấy máy bay.
a) Đúng
Tọa độ của điểm \(A\left( {66;\, - 75;\,120} \right)\).
b) Đúng
Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 64;\,76;\, - 120} \right)\).
\(AB = \sqrt {{{\left( { - 64} \right)}^2} + {{76}^2} + {{\left( { - 120} \right)}^2}} = \sqrt {24272} = 4\sqrt {1517} \).
Thời gian mà máy bay sẽ bay từ điểm \(A\) đến điểm \(B\) là \(\frac{{4\sqrt {1517} }}{{240}} \approx 0,65\) giờ \( \approx 39\) phút.
c) Sai
Phương trình đường đi của máy bay là: \(AB:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 - 64t}\\{y = 1 + 76t}\end{array}}\\{z = - 120t}\end{array}} \right.\)
Phương trình đám mây \(\left( {MNP} \right)\) là: \(\frac{x}{{25}} + \frac{y}{{25}} + \frac{z}{{30}} = 1 \Leftrightarrow 6x + 6y + 5z - 150 = 0\).
Xét phương trình: \(6\left( {2 - 64t} \right) + 6\left( {1 + 76t} \right) + 5\left( { - 120t} \right) - 150 = 0\).
\( \Leftrightarrow 12 - 384t + 6 + 456t - 600t - 150 = 0\).
\( \Leftrightarrow - 528t = 132\).
\( \Leftrightarrow t = - \frac{1}{4}\).
+ Với \(t = - \frac{1}{4}\) ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{x = 18}\\{y = - 18}\end{array}}\\{z = 30\,\,\,}\end{array}} \right.\)
Vậy, độ cao của máy bay khi máy bay xuyên qua đám mây là \(30\,{\rm{km}}\).
D) Đúng
Khi máy bay tiếp đất tại điểm \(B\left( {2;\,1;\,0} \right)\).
Tọa độ của máy bay sau khi di chuyển về phía Tây thêm 2 km nữa là \(C\left( {2;\,3;\,0} \right)\).
Khi đó: \(CS = \sqrt {{2^2} + {{127}^2} + {{0,1}^2}} \approx 127 > 125\) km.
Vậy đài quan sát sẽ không nhìn thấy máy bay.