Tại một nút giao thông của một khu vực đông dân cư với tốc độ tối đa cho phép đối với ô tô là 50 (km/h), người ta gắn một camera phạt nguội tại điểm S(0;0;14) trong không gian Oxyz (đơn vị tr
16/22
Tại một nút giao thông của một khu vực đông dân cư với tốc độ tối đa cho phép đối với ô tô là \(50\)(km/h), người ta gắn một camera phạt nguội tại điểm \(S\left( {0;0;14} \right)\) trong không gian \(Oxyz\) (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét), mặt phẳng \(Oxy\) song song với mặt đường và chứa vùng nhận diện biển số xe của các phương tiện tham gia giao thông
Biết rằng camera nhận diện tốt nhất biển số xe của các phương tiện tham gia giao thông là khi biển số của chúng nằm trong hình thang cân \(ABCD\) với: \(SA = SB = 27\) mét, \(OD = OC = 5\) mét,\(AB = 14\) mét và \(CD = 9,6\) mét. Tia \(Ox\) nằm trên đường trung trực các đoạn thẳng \(AB\) và \(DC\)(xem hình vẽ minh họa). Giả sử tại thời điểm 9h00 (được xem là thời điểm xuất phát) một ô tô chuyển động thẳng đều theo phương song song với trục \(Ox\), hướng về phía trục \(Oy\) và có vị trí của biển số xe là \(M\left( {50; - 6;0} \right)\)
\(D\left( {1,4; - 4,8;0} \right)\)
Đường thẳng \(AD\) có phương trình là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1,4 - 20,6t\\y = - 4,8 + 2,2t\\z = 0\end{array} \right.,\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\)
Nếu ô tô đi với vận tốc \(45\)(km/h) thì sau đúng \(2,2\) giây kể từ thời điểm xuất phát thì biển số của xe ôtô đã nằm trong vùng nhận diện tốt nhất của camera
Nếu camera ghi nhận được hình ảnh biển số xe ô tô liên tục trong một khoảng thời gian kéo dài đúng 0,7 giây, và khoảng thời gian 0,7 giây này kết thúc đồng thời với thời điểm xe vừa ra khỏi vùng nhận diện tốt nhất, thì ôtô đã vượt quá tốc độ cho phép.
Xét mệnh đề a):
Xét \(\left( {Oxy} \right)\), gọi \(H\)là trung điểm \(CD\), ta có \(CD = 9,6 \Rightarrow DH = 4,8 \Rightarrow {y_D} = - 4,8\)
Tam giác \(DOH\)vuông tại \(H\) nên \(OH = \sqrt {O{D^2} - D{H^2}} = \sqrt {{5^2} - {{4,8}^2}} = 1,4 \Rightarrow {x_D} = 1,4\)
Vậy \(D\left( {1,4; - 4,8;0} \right)\) nên mệnh đề a) đúng
Xét mệnh đề b):
Do \(AB = 14 \Rightarrow AK = 7 \Rightarrow A\left( {{x_A}; - 7;0} \right),\left( {{x_A} > 0} \right)\) mà \(\Delta SOA\) vuông tại \(O\) nên ta có:
\(O{A^2} + S{O^2} = S{A^2} \Leftrightarrow {x_A} = 22 \Rightarrow A\left( {22; - 7;0} \right)\)\( \Rightarrow \overrightarrow {DA} = \left( {20,6; - 2,2;0} \right)\)
Vậy đường thẳng \(AD:\left\{ \begin{array}{l}D\left( {1,4; - 4,8;0} \right)\\\overrightarrow {{u_{AD}}} = \overrightarrow {DA} = \left( {20,6; - 2,2;0} \right)\end{array} \right.\) có phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1,4 - 20,6t\\y = - 4,8 + 2,2t\\z = 0\end{array} \right.,\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\) nên mệnh đề b) đúng
Xét mệnh đề c):
Biển số của xe ôtô đã nằm trong vùng nhận diện tốt nhất của camera khi ô tô đi qua hình thang cân \(ABCD\) tạo hai giao điểm \(E,F\) như hình vẽ.
Ta có: \(MF = 50 - 22 = 28\) mét
Thời gian từ \(M\) đến \(F\) là \({t_{M \to F}} = \frac{{MF}}{{{v_{\^o t\^o }}}} = \frac{{28}}{{\frac{{45}}{{3,6}}}} = 2,24\) (giây) nên mệnh đề c) sai
Xét mệnh đề d):
Áp dụng định lý Talet: \(\frac{{EF}}{{DI}} = \frac{{AF}}{{AI}} = \frac{{7 - 6}}{{7 - 4,8}} = \frac{1}{{2,2}} \Rightarrow EF = DI.\frac{1}{{2,2}} = \frac{{\left( {22 - 1,4} \right)}}{{2,2}} = \frac{{103}}{{11}}\)
Suy ra \(v = \frac{s}{t} = \frac{{EF}}{t} = \frac{{\frac{{103}}{{11}}}}{{0,7}} = \frac{{1030}}{{77}}\)(m/s)\( = \frac{{3708}}{{77}}\)(km/h)\( \approx 48,16\)(km/h)\[ < 50\](km/h)
Vậy xe không vượt quá tốc độ cho phép nên mệnh đề d) sai