Tại một nút giao thông có hai con đường khác mức. Trên thiết kế, trong không gian Oxyz hai con đường đó thuộc hai đường thẳng d1 : (x − 2)/ 1 = (y − 2)/ 1 = (z/ − 1) ; d2 : (x − 2)/ 1 =(

21/25

Tại một nút giao thông có hai con đường khác mức. Trên thiết kế, trong không gian \(Oxyz\)hai con đường đó thuộc hai đường thẳng \({d_1}:\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{z}{{ - 1}}\); \({d_2}:\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{z}{{ - 3}}\). Người ta muốn tạo một con đường \(\Delta \) cắt \({d_1},\,{d_2}\) lần lượt tại \(A\) và \(B\) sao cho \(AB\) nhỏ nhất. Tính độ dài \(AB\).

Giải thích

Ta có \(AB\) ngắn nhất khi \(AB\) là đoạn vuông góc chung của \({d_1},\,{d_2}\).

Gọi \(A\left( {2 + a;2 + a; - a} \right) \in {d_1};\,\,B\left( {2 + b; - 1 + 2b; - 3b} \right) \in {d_2}\)\( \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \left( {b - a;2b - a - 3; - 3b + a} \right)\).

\({d_1},\,{d_2}\) lần lượt có các vectơ chỉ phương là \({\vec u_{{d_1}}} = \left( {1;1; - 1} \right)\) và \({\vec u_{{d_2}}} = \left( {1;2; - 3} \right)\).

Ta có AB→⋅u→d1=0AB→⋅u→d2=0⇔1b−a+12b−a−3−1−3b+a=01b−a+22b−a−3−3−3b+a=0⇔6b−3a−3=014b−6a−6=0

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 1\\b = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}A\left( {1;1;1} \right)\\B\left( {2; - 1;0} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \left( {1; - 2; - 1} \right)\]. Do đó \[\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt 6 \].

Trả lời: \(\sqrt 6 \).