Tại một ngã ba đường (B, H, C thẳng hàng) có ba tòa nhà nằm ở ba vị trí A, B, C như hình vẽ. Người ta đặt một trạm phát tín hiệu tại điểm I cách đều cả ba tòa nhà. Biết rằng BH = 2,5 km, AH =
19/19
Tại một ngã ba đường (\(B,H,C\) thẳng hàng) có ba tòa nhà nằm ở ba vị trí \(A,B,C\) như hình vẽ.
Người ta đặt một trạm phát tín hiệu tại điểm \(I\) cách đều cả ba tòa nhà. Biết rằng \(BH = 2,5{\rm{km}}\), \(AH = 6,5{\rm{km}}\) và \(CH = 6,5{\rm{km}}\) (với \(AH \bot BC\) tại \(H\)), hãy tính giá trị \(100A{I^2}\) (làm tròn đến hàng đơn vị).
Vì trạm phát tín hiệu tại điểm \(I\) cách đều cả ba tòa nhà \(A,B,C\) nên \(I\) chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\). Do đó, bán kính đường tròn ngoại tiếp \(R = IA = IB = IC\).
Ta có tam giác \(AHB\) và tam giác \(AHC\) vuông tại \(H\).
Độ dài các cạnh của tam giác \(ABC\) được tính như sau:
\(AB = \sqrt {A{H^2} + B{H^2}} = \sqrt {{{6,5}^2} + {{2,5}^2}} = \sqrt {42,25 + 6,25} = \sqrt {48,5} \);
\(AC = \sqrt {A{H^2} + C{H^2}} = \sqrt {{{6,5}^2} + {{6,5}^2}} = \sqrt {42,25 + 42,25} = \sqrt {84,5} \);
\(BC = BH + HC = 2,5 + 6,5 = 9{\rm{km}}\).
Diện tích tam giác \(ABC\) là: \({S_{ABC}} = \frac{1}{2} \cdot AH \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 6,5 \cdot 9 = 29,25\).
Áp dụng công thức tính bán kính đường tròn ngoại tiếp:
\(R = IA = \frac{{AB \cdot AC \cdot BC}}{{4{S_{ABC}}}} = \frac{{\sqrt {48,5} \cdot \sqrt {84,5} \cdot 9}}{{4 \cdot 29,25}} = \frac{{\sqrt {4098,25} \cdot 9}}{{117}}\)
Ta tính toán giá trị \(I{A^2}\): \(I{A^2} = \frac{{4098,25 \cdot 81}}{{13689}} = \frac{{331958,25}}{{13689}} \approx 24,25\)\( \Rightarrow 100I{A^2} \approx 2425\).