Tại một khu di tích vào ngày lễ hội hằng năm, tốc độ thay đổi lượng khách tham quan được biểu diễn bằng hàm

\(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right) = {\cos ^2}x\) thì \(F'\left( x \right) = {\cos ^2}x \Rightarrow F''\left( x \right) = - \sin 2x\).

Vì \(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = } \int {{{\cos }^2}x{\rm{d}}x = \int {\frac{{1 + \cos 2x}}{2}} } {\rm{d}}x = \frac{x}{2} + \frac{{\sin 2x}}{4} + C\). Nên \(F\left( x \right) = \frac{x}{2} + \frac{{\sin 2x}}{4} + C\).

Mà \(F\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow C = 0.\) Vậy \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \frac{\pi }{4}\).

Nếu \(F\left( 0 \right) = 1 \Rightarrow C = 1 \Rightarrow \int {F\left( x \right){\rm{d}}x = \int {\left( {\frac{x}{2} + \frac{{\sin 2x}}{4} + 1} \right){\rm{d}}x = } \frac{{{x^2}}}{4} - \frac{{\cos 2x}}{8} + x + C} \).

Đáp án:       a) Sai,                    b) Sai,                   c) Đúng,      d) Sai.