Tại một khu bảo tồn thiên nhiên, các nhà khoa học đã thả một số cá thể của một loài động vật quý hiếm trong một khu rừng rộng 10 hecta

Lời giải

a) Đúng. Vì thời điểm ban đầu \(t = 0\), \(h\left( 0 \right) = 70{\log _2}1 + 30 = 30\) (cá thể).

b) Đúng. Vì \(9\) tháng bằng \(\frac{3}{4}\) năm.

Do đó số lượng cá thể của loài động vật đó sau \(9\) tháng kể từ khi bắt đầu nuôi bằng

\(h\left( {\frac{3}{4}} \right) = 70{\log _2}\left( {\frac{{8.\frac{3}{4} + 1}}{{\frac{3}{4} + 1}}} \right) + 30 = 70{\log _2}4 + 30 = 170\).

c) Sai. Vì

\(\begin{array}{l}h\left( t \right) = 70{\log _2}\left( {\frac{{8t + 1}}{{t + 1}}} \right) + 30\\ \Rightarrow h'\left( t \right) = 70.\frac{1}{{\left( {\frac{{8t + 1}}{{t + 1}}} \right).\ln 2}}.{\left( {\frac{{8t + 1}}{{t + 1}}} \right)^\prime } = \left( {\frac{{t + 1}}{{8t + 1}}} \right).\frac{7}{{\ln 2.{{\left( {t + 1} \right)}^2}}} = \frac{7}{{\ln 2}}.\frac{1}{{\left( {t + 1} \right).\left( {8t + 1} \right)}}\end{array}\)

Tốc độ tăng trưởng số lượng cá thể của loài động vật đó tại thời điểm đúng \(6\) năm kể từ khi nuôi là \(h'\left( 6 \right) = \frac{7}{{\ln 2}}.\frac{1}{{\left( {6 + 1} \right).\left( {8.6 + 1} \right)}} = \frac{1}{{49.\ln 2}} = 0,029444275594\)( cá thể /năm).

d) Đúng. Vì \(h'\left( t \right) = \frac{7}{{\ln 2}}.\frac{1}{{\left( {t + 1} \right).\left( {8t + 1} \right)}} > 0,\forall t \ge 0\).

Ta có \(h\left( 0 \right) = 30\)  và \(\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } \frac{{8t + 1}}{{t + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } \frac{{8 + \frac{1}{t}}}{{1 + \frac{1}{t}}} = 8\),

suy ra \(\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } h\left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } \left( {70{{\log }_2}\left( {\frac{{8t + 1}}{{t + 1}}} \right) + 30} \right) = 70.{\log _2}8 + 30 = 240\).

Từ đó ta có BBT của hàm số \(h\left( t \right)\) như sau:

Vậy số lượng cá thể của loài động vật đó không vượt quá \(240\).