Tại lễ hội âm nhạc "Vietnam Beats 2026", ban tổ chức thiết kế một sân khấu trung tâm có dạng hình trụ. Trên đỉnh của sân khấu này, người ta bố trí 12 cụm đèn LED đặt cách đều nhau theo một vò

22/22

Tại lễ hội âm nhạc "Vietnam Beats 2026", ban tổ chức thiết kế một sân khấu trung tâm có dạng hình trụ. Trên đỉnh của sân khấu này, người ta bố trí 12 cụm đèn LED đặt cách đều nhau theo một vòng tròn. Mỗi cụm đèn có thể hiển thị một trong hai màu: Vàng Gold hoặc Xanh Cyan. Một "khung hình chữ nhật" được tạo thành bởi 4 vị trí đèn sẽ bị coi là lỗi ánh sáng nếu cả 4 đèn đó cùng hiển thị một màu (đơn sắc). Gọi \(a\) là xác suất để tại một thời điểm bất kỳ, khi các đèn nhảy màu ngẫu nhiên, không có khung hình chữ nhật nào bị lỗi đơn sắc. Tính giá trị của biểu thức \(K = \frac{{464}}{a}\).

Nhập câu trả lời ở đây

Giải thích

Đáp án: 2048.

Mỗi cụm đèn trong số 12 cụm đèn có 2 cách chọn màu (Vàng Gold hoặc Xanh Cyan).

Do đó, số phần tử của không gian mẫu là: \(n(\Omega ) = {2^{12}} = 4096\).

12 cụm đèn đặt cách đều nhau trên một vòng tròn tạo thành các đỉnh của một đa giác đều 12 cạnh. Một hình chữ nhật được tạo thành từ 4 đỉnh của đa giác này khi và chỉ khi 2 đường chéo nối các cặp đỉnh đó là 2 đường kính của đường tròn.

Số đường kính nối các cặp đỉnh đối diện là: \(\frac{{12}}{2} = 6\) đường kính.

Số hình chữ nhật là số cách chọn 2 đường kính trong 6 đường kính: \(C_6^2 = 15\) hình chữ nhật.

Xét các trường hợp thỏa mãn:

Trường hợp 1: Tất cả 6 cặp đều khác màu. Mỗi cặp có 2 cách chọn (VX hoặc XV). Số cách: \({2^6} = 64\).

Trường hợp 2: Có đúng 1 cặp cùng màu (V, V), 5 cặp còn lại khác màu. Chọn 1 cặp trong 6 cặp để đặt (V, V), 5 cặp còn lại mỗi cặp có 2 cách.

Số cách: \(C_6^1 \times {2^5} = 6 \times 32 = 192\).

Trường hợp 3: Có đúng 1 cặp cùng màu (X, X), 5 cặp còn lại khác màu. Tương tự trường hợp 2. Số cách: \(C_6^1 \times {2^5} = 192\).

Trường hợp 4: Có đúng 1 cặp (V, V) và đúng 1 cặp (X, X), 4 cặp còn lại khác màu. Chọn 2 cặp trong 6 cặp, 1 cặp gán (V, V), 1 cặp gán (X, X), 4 cặp còn lại có 2 cách.

Số cách: \(C_6^2 \times 2! \times {2^4} = 15 \times 2 \times 16 = 480\).

Tổng số kết quả thuận lợi là: \(n(A) = 64 + 192 + 192 + 480 = 928\).

Xác suất \(a = \frac{{n(A)}}{{n(\Omega )}} = \frac{{928}}{{4096}}\).

Giá trị \(K = \frac{{464}}{a} = \frac{{464}}{{\left( {\frac{{928}}{{4096}}} \right)}} = \frac{{464 \times 4096}}{{928}} = \frac{{1 \times 4096}}{2} = 2048\).