Ta đã biết tính cosA theo độ dài các cạnh của tam giác ABC. Liệu sinA và diện tích S

sinA và S được tính theo độ dài cạnh của tam giác ABC như sau:

Ta có: cosA=b2+c2−a22bc (định lí cos)

Mà: cos²A + sin²A = 1  

Û sin²A = 1 – cos²A

Þ sinA=±1−cos2A

Do  nên sin A > 0 hay

Ta có:sinA=1−b2+c2−a22bc2=1−(b2+c2−a2)24b2c2

=4b2c2−(b2+c2−a2)24b2c2=4b2c2−(b2+c2−a2)22bc

Khi đó diện tích tam giác ABC là:

SABC=12bc . sinA=12bc . 4b2c2−(b2+c2−a2)22bc.

=144b2c2−(b2+c2−a2)2

=14a2−b−c2b+c2−a2=14a−b+ca+b−cb+c−ab+c+a

Vậy sin A và diện tích S có tính được theo độ dài cạnh của tam giác ABC.