Ta có: \(F'\left(

31/42

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) đồng biến và có đạo hàm cấp hai trên đoạn \(\left[ {0\,;\,2} \right]\) và thỏa mãn \(2{\left[ {f\left( x \right)} \right]^2} - f\left( x \right) \cdot f''\left( x \right) + {\left[ {f'\left( x \right)} \right]^2} = 0\) với \(\forall x \in \left[ {0\,;\,2} \right]\,.\) Biết \(f\left( 0 \right) = 1;\,f\left( 2 \right) = {e^6},\,\)tích phân \(I = \int\limits_{ - 2}^0 {\left( {2x + 1} \right)} f\left( x \right){\rm{d}}x\) bằng

\(1 - {e^{ - 1}}\).

\(1 + e\).

\(1 - {e^2}\).

\(1 - e\).

Giải thích

\[2{\left[ {f\left( x \right)} \right]^2} - f\left( x \right) \cdot f''\left( x \right) + {\left[ {f'\left( x \right)} \right]^2} = 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) \cdot f''\left( x \right) - {\left[ {f'\left( x \right)} \right]^2} = 2{\left[ {f\left( x \right)} \right]^2}\]

\[ \Leftrightarrow \frac{{f\left( x \right) \cdot f''\left( x \right) - {{\left[ {f'\left( x \right)} \right]}^2}}}{{{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}}} = 2 \Leftrightarrow {\left( {\frac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}}} \right)^\prime } = 2\]

\[ \Leftrightarrow \int {{{\left( {\frac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}}} \right)}^\prime }{\rm{d}}x = } \int {2{\rm{d}}x} \Leftrightarrow \frac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}} = 2x + {C_1}\]

\[ \Leftrightarrow \int {\frac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}}{\rm{d}}x = \int {2x + {C_1}} } \Leftrightarrow \ln \left| {f\left( x \right)} \right| = {x^2} + {C_1}x + {C_2}\].

\(f\left( 0 \right) = 1 \Rightarrow \ln 1 = {C_2} \Rightarrow {C_2} = 0\,.\)

\(f\left( 2 \right) = {e^6} \Rightarrow 6 = 4 + 2{C_1} \Rightarrow {C_1} = 1\,\).

\( \Rightarrow \ln \left| {f\left( x \right)} \right| = {x^2} + x \Rightarrow f\left( x \right) = {e^{{x^2} + x}}\)

\( \Rightarrow I = \int\limits_{ - 2}^0 {\left( {2x + 1} \right){e^{{x^2} + x}}{\rm{d}}x} \, = \left. {{e^{{x^2} + x}}} \right|_{ - 2}^0 = 1 - {e^2}\,.\) Chọn C.