Số số nguyên nằm trong đoạn [ 5a; 5b]  à bao nhiêu? (nhập đáp án vào ô trống)

Đáp án đúng là "16"

Phương pháp giải

Đặt ẩn phụ.

Lời giải

Có \[f(x) = \frac{{2\cos 2x - 4\cos x + 1}}{{3 - 2\cos x - {{\sin }^2}x}} = \frac{{2\left( {2{{\cos }^2}x - 1} \right) - 4\cos x + 1}}{{3 - 2\cos x - \left( {1 - {{\cos }^2}x} \right)}} = \frac{{4{{\cos }^2}x - 4\cos x - 1}}{{{{\cos }^2}x - 2\cos x + 2}}\]

Tập xác định của hàm số: \(D = \mathbb{R}\).

Đặt \({\rm{cos}}x = t,t \in \left[ { - 1;1} \right]\). Khi đó, ta xét hàm số \(g\left( t \right) = \frac{{4{t^2} - 4t - 1}}{{{t^2} - 2t + 2}},t \in \left[ { - 1;1} \right]\).

Có \(g'\left( t \right) = \frac{{ - 4{t^2} + 18t - 10}}{{{{\left( {{t^2} - 2t + 2} \right)}^2}}}\), cho \(g'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow - 4{t^2} + 18t - 10 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = \frac{{9 + \sqrt {41} }}{4}}\\{t = \frac{{9 - \sqrt {41} }}{4}}\end{array}} \right.\)

Khi đó, ta có bảng biến thiên của hàm số trên \(\left[ { - 1;1} \right]\) như sau:

Từ bảng biến thiên, ta suy ra \(T = \left[ {\frac{{3 - \sqrt {41} }}{2};\frac{7}{5}} \right] \Rightarrow \left[ {5a;5b} \right] = \left[ {\frac{{15 - 5\sqrt {41} }}{2};7} \right]\). Từ đó, ta suy ra \(\left[ {5a;5b} \right]\) có số giá trị nguyên là \(7 - \left( { - 8} \right) + 1 = 16\) giá trị.