So sánh diện tích hai tam giác GBE và GCD.
7/10
Cho tam giác ABC có điểm D ở chính giữa cạnh AC và điểm E ở chính giữa cạnh AB. Hai đoạn thẳng BD và CE gặp nhau ở điểm G (như hình vẽ):
a) So sánh diện tích hai tam giác GBE và GCD.
b) So sánh diện tích ba tam giác GAB, GBC, GCA
c) Kéo dài AG cắt BC ở điểm M. So sánh hai đoạn thẳng MB và MC.
a) Hai tam giác CAB và CEB có chung đường cao hạ từ C xuống AB và \(EB = \frac{{AB}}{2}\) nên: \({S_{CEB}} = \frac{1}{2}{S_{CAB}}{\rm{ (1)}}\)
Hai tam giác BAC và BDC có chung đường cao hạ từ B xuống AC và \(DC = \frac{{AC}}{2}\) nên:
\({S_{BDC}} = \frac{1}{2}{S_{BAC}}{\rm{ (2)}}\)
Từ (1) và (2) suy ra: \({S_{CEB}} = {S_{BDC}}\)
Hai hình tam giác này có phần chung là tam giác GBC do đó: \({S_{GBE}} = {S_{BCD}}{\rm{ (3)}}\)
b) Hai tam giác GBE và GAE có chung đường cao vẽ từ G xuống AB và \(EA = EB\) nên \({S_{GBE}} = {S_{GAE}}{\rm{ (4)}}\)
Hai tam giác GDA và GDC có chung đường cao vẽ từ G xuống AC và \(DA = EC\) nên \({S_{GDA}} = {S_{GDC}}{\rm{ (5)}}\)
Từ (3), (4) và (5) ta có: \({S_{GAB}} = {S_{GAC}}{\rm{ (6)}}\)
Hai tam giác ABD và CBD có chung đường cao hạ từ B xuống AC và \(DA = DC\) nên \({S_{ABD}} = {S_{CBD}}\)
Mà hai tam giác này chứa hai hình tam giác có diện tích bằng nhau (\({S_{GDC}} = {S_{GDA}}\)).
Vậy: \({S_{GAB}} = {S_{GBC}} = {S_{GAC}}\)
c) Theo (6) và hai tam giác này có chung đáy AG nên hai đường cao (vẽ từ B và C xuống AG) bằng nhau.
- Hai đường cao này cũng là hai đường cao của hai hình tam giác BGM và CGM vẽ từ B và C xuống GM. Mặt khác hai tam giác này lại có chung đáy GM nên \({S_{BGM}} = {S_{CGM}}\)
- Mà hai tam giác này lại có chung đường cao vẽ từ G xuống BC. Do đó hai đáy \(BM = CM\)